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1、第三章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: AB为一个映射定义2 单射，若f: AB是一个映射且对任意x， yA， xy， 都有f(x)f(y)则称之为单射定义3 满射，若f: AB是映射且对任意yB，都有一个xA使得f(x)=y，则称f: AB是A到B上的满射定义4 一一映射，若f: AB既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: AB定义5 函数，映射f: AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数A称为它的定义域，
2、若xA， yB，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象集合f(x)|xA叫函数的值域通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为x|x0，xR. 定义6 反函数，若函数f: AB（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x， y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=
3、x对称定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数定义7 函数的性质（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1， x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，
4、f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期定义8 如果实数ab，则数集x|axb， xR叫做开区间，记作（a，b），集合x|axb，xR记作闭区间a，b，集合x|axb记作半开半闭区间（a，b，集合x|axa记作开区间（a， +），集合x|xa记作半开半闭区间（-，a.定义9 函数的图象，点集(x，y)|y=f(x)， xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a，b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的
5、图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称定理3 复合函数y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”例如y=， u=2-x在（-，2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以y=在（-，2）上是增函数注：复合函数单调性的判断方法为同增异减这里不做严格论证，求导之后是显然的二、方法与例题1数形结合法例1 求方程|x-1|=的正根
6、的个数.xyx11x【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根例2 求函数f(x)=的最大值【解】 f(x)=，记点P(x， x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差因为|PA|-|PA|AB|=，当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立所以f(x)max=2.函数性质的应用例3 设x， yR，且满足，求x+y.【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-，+）上递增事实上，若a0，所以f(t)递增由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函数f(
7、x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围【解】 因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1例5 设f(x)是定义在（-，+）上以2为周期的函数，对kZ， 用Ik表示区间(2k-1， 2k+1，已知当xI0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式【解】 设xIk，则2k-10，则由得n0，设f(t)=t(+1)，则f(t)在（0，+）上是增函数又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m0
8、同理有m+n=0，x=，但与m0矛盾综上，方程有唯一实数解x=3.配方法例7 求函数y=x+的值域【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是-，+）4换元法例8 求函数y=(+2)(+1)，x0，1的值域【解】令+=u，因为x0，1，所以2u2=2+24，所以u2，所以2，12，所以y=，u2+2，8所以该函数值域为2+，85判别式法例9 求函数y=的值域【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当y1时，式是关于x的方程有实根所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又当y=1时，存在x=0使解析
9、式成立，所以函数值域为，76关于反函数例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数若f(x)在(-，+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-，+ )上也是增函数【证明】设x1x2， 且y1=f-1(x1)， y2=f-1(x2)，则x1=f(y1)， x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-，+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2即y=f-1(x)在(-，+ )递增例11 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定义域为（-，-）-，+）；其次，设x1， x2是定义域内变量，且x1x20，所以f(x)在（-，-）上递增，同理f
10、(x)在-，+）上递增在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0，所以x，y-，+）.若xy，设xy，则f(x)=yy也可得出矛盾所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0，即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0，因为x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基础训练题1已知X=-1， 0， 1， Y=-2， -1， 0， 1， 2，映射f：XY满足：对任意的xX，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_个2给定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f
11、：XY，若f为单射，则f有_个；若f为满射，则f有_个；满足ff(x) =f(x)的映射有_个3若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_个交点4函数y=f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为_5已知f(x)=，则函数g(x)=ff(x)的值域为_6已知f(x)=|x+a|，当x3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_7设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_8若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_对称9函数f(x)满足=1-，则f()
12、=_10. 函数y=， x(1， +)的反函数是_11求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定义在R上，对任意xR， f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x2，3时，f(x)=x，则当x-2，0时，求f(x)的解析式四、高考水平训练题1已知a， f(x)定义域是（0，1，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_2设0a1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值则f(x)定义域为_3映射f: a， b， c， d1，2，3满足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，这样的映射f有_个4设函数y=f(
13、x)(xR)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，ff(x)=x解集为Q，则P，Q的关系为：P_Q（填=、）5下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=；（4）y=6. 设函数y=f(x)(xR且x0)，对任意非零实数x1， x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+）是增函数，则不等式f(x)+f(x-)0的解集为_7函数f(x)=，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)=y|y=f(x)， xP， f(M)=y|y=f(x)， xM，给出如下判断：若PM=，则f(P) f(M)=；若PM，则f(P) f(M)；若PM=R， 则f(P) f(M)=R；若PMR，则f(P) f(M)R. 其中正确的判断是_8函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)= _9已知y=f(x)是定义域为-6，6的奇
