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1、成人专升本高等数学模拟试题二一、选择题(每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中)x21极限 lim 1+ 2 等于xx1A：e2B： eC：e2D：1sin x x 02设函数 f(x)x x 0在x 0处连续，则： a 等于a x 0D：6设 f ( x) 为连续函数，则：ddx ax f(t)dt等于11A： f(2) f(0)B： f(1) f(0)C： f(2) f(0)22f (1) f (0)2 2 2 A： f (x2)B： x2 f (x2)2C： xf (x2 )2D： 2xf (x2 )7设 f
2、(x) 为在区间 a,b 上的连续函数，则曲线 y 所围成的封闭图形的面积为f ( x) 与直线 xa ，x b 及 y 0bA： a f ( x)dxbB： a | f(x)| dxabC：| a f (x)dx |aD：不能确定A： 2B： 12C：1D： 23设 ye 2x ，则： y 等于A： 2e 2 xB： e 2xC：2x2e 2 xD：2x2e2x4设 yf (x) 在(a,b) 内有二阶导数，且f(x) 0 ，则：曲线 yf (x) 在 (a,b)内A：下凹B：上凹C：凹凸性不可确定D：单调减少15设 f (x) 为连续函数，则： 0 f (2x)dx等于8设 y x 2y
3、，则： z 等于xA： 2yx2y 1B：x2y ln yC： 2x2y 1ln xD：2x2y ln x29. 设 z=x2y+sin y,则 z 等于 xy10方程 y 3y x2 待定特解 y* 应取A： AxB： Ax 2 Bx CC： Ax2D： x(Ax 2 Bx C)二、填空题(每小题 4 分，共 40 分)112x 2 3x 5 lim 2 x 3x 2 2 x 412设 yx ，则： ysin x13设 sin x 为 f ( x) 的原函数，则： f (x) 14 x(x2 5) 4dx15已知平面 ： 2x y 3z 2 0 ，则：过原点且与 垂直的直线方程是16设 z
4、arctan xyx2，则： zx(2,1)17设区域 D： x2a2 ， x 0 ，则： 3dxdyD18设 f (1)2，则： lim f (x) f (1)x119微分方程yy0 的通解是20幂级数n2n 11 x2n 的收敛半径是21解答题本题满分 8 分)xe cos x 2 求： limx022本题满分 8 分)设 f ( x)x lnt ，求： dy y arctant dx23(本题满分 8 分)在曲线 y x2 (x 0) 上某点 A(a,a2)处做切线，使该切线与1 曲线及 x 轴所围成的图象面积为 1 ，12 求( 1)切点 A的坐标 (a,a2 ) ；(2)过切点 A的
5、切线方程424(本题满分 8 分)计算： 0 arctan xdx25(本题满分 8 分)设 z z(x,y) 由方程 ez xy ln(y z) 0确定，求： dz126(本题满分 10 分)将 f (x)1 2 展开为 x 的幂级数(1 x) 227(本题满分 10分)求 y xex 的极值及曲线的凹凸区间与拐点 28(本题满分 10分)设平面薄片的方程可以表示为 x2 y2 R2， x 0，薄片上 点(x, y)处的密度 (x,y) x2 y2 求：该薄片的质量 M成人专升本高等数学模拟试二答案e2 ，所以：选择 C原式1、解答：本题考察的知识点是重要极限二因为： lim f(x)x0s
6、in xlim1，且函数 y f (x)在 x 0处连续x 0 x所以： lim f(x)x0f(0) ，则： a 1 ，所以：选择 Cx 2 x2 2 2 2 2 lim 1 =lim 12=x x x x2、解答：本题考察的知识点是函数连续性的概念3、解答：本题考察的知识点是复合函数求导法则y e 2x 2 ，所以：选择 C4、解答：本题考察的知识点是利用二阶导数符号判定曲线的凸凹性 因为：y f ( x)在(a,b)内有二阶导数，且 f (x) 0 ，所以：曲线 y f(x)在(a,b)内 下凹所以：选择 A5、解答：本题考察的知识点是不定积分性质与定积分的牛莱公式1 1 1 1 1 1
7、0f (2x)dx 0f (2x)d2xf (2x) |10f(2) f (0) ,所以：选择 C0 2 0 2 26、解答：本题考察的知识点是可变上限积分的求导问题d x22d f (t)dt f (x2) 2x ，所以：选择 D dx a7、解答：本题考察的知识点是定积分的几何意义 所以：选择 B8、解答：本题考察的知识点是偏导数的计算z 2y x2y 1，所以：选择 Ax9、解答：本题考察的知识点是多元函数的二阶偏导数的求法2因为 z=2xy, 所以 z =2 x ，所以：选 Dx x y10、解答：本题考察的知识点是二阶常系数线性微分方程特解设法 因为：与之相对应的齐次方程为 y 3y
8、 0 ，其特征方程是 r2 3r 0，解得 r 0或 r3自由项 f(x) x2 x2 e0x 为特征单根，所以：特解应设为 y x(Ax2 Bx C)11、解答：本题考察的知识点是极限的运算答案： 2312、解答：本题考察的知识点是导数的四则运算法则xyxcsc x ，所以： y cscx x csc x cot xsinx13、解答：本题考察的知识点是原函数的概念 因为： sinx 为 f (x) 的原函数，所以： f (x) (sin x) cosx14、解答：本题考察的知识点是不定积分的换元积分法15、解答：本题考察的知识点是直线方程与直线方程与平面的关系 因为：直线与平面垂直，所以：
9、直线的方向向量 rs与平面的法向量 rn 平行，所以： rs nr (2, 1,3)因为：直线过原点，所以：所求直线方程是 x y z2 1 316、解答：本题考察的知识点是偏导数的计算z1x2x) ，所以：zx (2,1)3717、解答：本题考察的知识点是二重积分的性质3dxdy 3 dxdy 表示所求二重积分值等于积分区域面积的三倍， DD区域 D 是半径为a的半圆，面积为 2 a2，所以：3dxdy因为：f (1) 2，所以： lim f(x)2 f(1) lim f(x) f(1) 1 1f (1) 1x 1x2 1 x 1 x 1 x 1 2D18、解答：本题考察的知识点是函数在一点
10、处导数的定义19 解答：本题考察的知识点是二阶常系数线性微分方程的通解求法特征方程是 r 2 r 0 ，解得：特征根为 r 0，r 1 所以：微分方程的通解是 C1 C2ex20、解答：本题考察的知识点是幂级数的收敛半径limn|un 1| lnim| unn1 (2 n 1) 12n 1 x1 2n 1 2n x22| x2 ，当 x2 1 ，即：x2 2 时级数绝对收敛，所以：解答题解答：本题考察的知识点是用罗比达法则求不定式极限22、解答：本题考察的知识点是参数方程的求导计算23、解答：本题考察的知识点是定积分的几何意义和曲线的切线方程因为： y x2 ，则： y 2 x ， 则：曲线过
11、点 A(a, a2) 处的切线方程是 y a2 2a(x a) ，即： y 2ax a2曲线 y x2 与切线 y 2ax a2 、 x 轴所围平面图形的面积1 1 1由题意S 112，可知： 112a3 112，则： a 1所以：切点 A的坐标(1,1)，过 A点的切线方程是 y 2x 124、解答：本题考察的知识点是定积分的分部积分法25、解答：本题考察的知识点是多元微积分的全微分求 z ： x1z0，所以： zxy( y z)( y z)ez 1求 z ： ez z x 1 (1 z) y y y z y0 ，所以： z1xyz z1 eyzx( y z) 1( y z)ez 1所以： dzz dx z dy xy1( y z)ez1y(yz)dx x( yz) 1dy)26、解答：本题考察的知识点是将初等函数展开为的幂级数27、解答：本题考察的知识点是描述函数几何性态的综合问题y xex 的定义域是全体实数y (1 x)ex，y (2 x)ex ，令 y 0，y 0 ，解得驻点为 x1 1，拐点 x21列表(略)，可得：极小值点为 x11，极小值是 f ( 1) 1e曲线的凸区间是 ( 2,) ，凹区间是 (2) ，拐点为 ( 2,2e2 )28、解答：本题考察的知识点是二重积分的物理应用
