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1、数 学 的本 质一、名家论数学的本质和作用伽利略：数学是上帝用来书写宇宙的文字.柯尔:数学是一种能澄清混淆的思考方式，它是一种语言,能让我们把世界上混杂的局面翻译成可以去管理的方式。哲学家培根: 数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。数学家本杰明: 数学不是规律的发现者，因为它不是归纳.数学也不是理论的缔造者,因为它不是假说但数学却是规律和理论的裁判和主宰者，因为规律和假说都要向数学表明自己的主张,然后等待数学的裁判。如果没有数学上的认
2、可,则规律不能起作用,理论也不能解释。怀尔德：数学是一种文化体系J.J.尔维尔斯特： 数学是推理的音乐柏拉图： 上帝总在使世界几何化。C。迪尔曼： 数学是现实中优于任何普通语言的最完美的语言自然界彷佛用它说话,世界的创造者用它说话,世界的保护者仍在用它说话。I.巴罗: 数学 - 科学不可动摇的基石，促进人类事业进步的丰富源泉.柯尔:数学家对数学的了解是,数学可以表达、运算、及发现事实。数学是一种能澄清混淆的思考方式，它是一种语言，能让我们把世界上混杂的局面翻译成可以去管理的方式。毕达哥拉斯学派: 数学统治宇宙。P。D。拉克斯： 数学当做一门艺术来看时最近似于绘画，二者在两种目标间维持一种张力，
3、在绘画中，既要表达可见世界的形状与色彩,又要在一块二维的画布上塑造出赏心悦目的图案;在数学中,既要研究自然的规律,又要编织出优美的演绎模式。华罗庚： 千古数学一大猜！。西勒维斯特：置身于数学领域中不断地探索和追求，能把人类的思维活动升华到纯净和谐的境界。J阿巴思洛特: 数学知识使思维增加活力，使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚.WE羌塞劳尔: 正如文学诱导人们的情感与理解一样,数学则启发人们的想象与推理。I.拿破仑: 数学的进步和完美与国家的繁荣和富强是紧密相连的罗巴切夫斯基： 任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天在现实世界的现象中找到应用.笛卡儿: 数学不仅能训练人们的分析力和判断力,也可
4、提升智能，更是研究自然科学和应用科学不可或缺的工具。欧阳绛：数学能令你的思维纯净、和谐，会为你的思维增添活力。它赋予你想象的翅膀，为你开通推理的渠道。二、数学的本质、数学研究对象的历史考察什么是数学？也就是数学的本质是什么？这是数学哲学中一个最基本的问题。古今中外有许多不同观点:有的认为数学是“人类悟性的自由创造物”；也有的认为数学定理是冥冥之中早已安排好了的巧妙设计,数学家的任务仅仅是发现它；还有的认为，数学是客观世界数量关系和空间形式在人脑中的反映,等等.为了回答这个问题,我们不妨从数学发匀时期,人们在实践中，对数学研究对象的发现与认识，来加以考察数学，作为一门科学,它来源于人类社会实践，
5、并促进人类社会实践,也随着人类社会的进步而发展。数学的起源可以追溯到原始社会，经历了数学萌芽时期；常量数学时期;变量数学时期;近、现代数学时期四个历史阶段每个时期数学的发展,都深深印上了当时社会实践与社会文化的烙印.(1)数学萌芽时期(远古公元前6世纪）这个时期的特点，是人们在实践中从现实世界里,零零星星地认识了数学中最古老、原始概念“数”(自然数)和“形”（简单几何图形）.数的概念起源于数（读)。原始社会人们采用“结绳记数，就是把打猎所获得猎物与绳子的“结”进行比较，得出猎物的个数从我国出土的甲骨文中，发现大约公元前14 世纪公元前11世纪的数字是采用十进位制记数法，最大数是3万。由此可见，
6、数已从具体事物分离出来，抽象为“数的概念，但仍然印上了十个手指数数的烙印.另一方面,人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中,对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形的概念。我国出土的“仰韶文化”的彩陶中,就有由三角形和直线组成或由圆和曲线组成的图案(2)常量数学时期(公元前6世纪公元17世纪）这个时期的特点,是人们将零星的数学知识,进行了积累、归纳、系统化,采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期，人们认识的“数”和 “形”，只是零星的数学知识,并未构成逻辑体系.到了公元前世纪,古埃及由于尼罗河长期泛滥,冲毁了土地区域，需要重新丈量,积累了丰富的几何知识。后来古埃
7、及人把几何知识传到古希腊，由Eucld把人们长期实践发现、积累的几何知识，按照演绎的方法写成了几何原本。同一个时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题,如研究天文历法中的问题，促使算术、代数的发展。数学从原始自然数，分数发展扩充到正负实数成书于东汉时期的九章算术，就是人们在长期实践中，用数学解决实际问题的经验总结公元前3世纪至公元2世纪撰写成的几何原本和九章算术,标志着古典的初等数学体系的形成。几何原本全书共13卷全书主要以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了67条定理，从而建立了公理化演绎体系.九章算术则是4个数学问题、答案和术文组成。全书主要研究对
8、象是数量关系。该书以直觉思维为主线,按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系()变量数学时期(17世纪1世纪)这个时期的特点,是“运动成为自然科学研究的中心课题。数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律.常量数学已发展到变量数学. 1世纪，欧洲社会萌芽了资本主义,手工业生产转向了机器工业生产，迫使自然科学对“运动”和各种“过程”的研究，进而产生了“变量”与“函数”的概念。1世纪上半叶，Dscartes将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了解析几何学，这标志着变量数学时期的开始。7世纪60年代,Neo
9、和Libniz各自从运动学和的需要，创建了微积分.随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支。15世纪8世纪，人们还研究了大量的随机现象,发现存在着某种完全不确定规律性，从而开辟了或然数学的新领域，建立了概率论。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性;数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法马克思主义奠基人之一的恩格斯，在考察了18世纪前整个数学发展的历史基础上，指出：“数和形的概念不是从任何地方得来的,而仅仅是从现实世界中得来的”.“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系-这是非常现实的材料为对象的。这
10、些论断揭示了科学的数学本质。（）近现代数学时期（1世纪以后)这个时期的特点,是数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系,数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学愈来愈显示出科学和技术的双重品质9世纪以来，由于社会发展的需要，以及数学自身的逻辑矛盾不断产生许多新问题,促使处于数学核心部分的几个主要分支代数、几何、分析学科的内容发生了深刻变化,并产生了许多新的数学分支，由寻求一元次方程的解而建立了群论，创建了抽象代数学.代数学已由研究具体的数和用字母代表的任意数,以及它们之间的运算，发展到研究各种代数系统的结构和更一般的运算:同构、同态、反演、映
11、射等。由试证欧氏几何的第五公设开创了非欧几何学。非欧几何的发现拓广了空间概念,欧氏空间再不是描述现实世界唯一可能的空间，除此而外还有n维空间、无穷维空间以至于更抽象的空间由研究分析学的基础创建了“集合论”,建立了抽象分析学和数理逻辑。数学分析最基础的概念是函数、极限、连续、导数（微分)和积分，分析的精确化(严密化),是由Cucy给极限概念下严密定义而开始的，最后由dekn和to等人相继完成了连续的理论，才为数学分析的精确化奠定了坚实的基础由此建立的Canto集合论，对数学发展的影响极其深远。此外，Shwat等人对经典函数概念进行了拓广，提出并系统发展了广义函数论。其中泛函分析就是在抽象代数的新
12、方法、几何空间概念的拓广以及分析精确化工作等方面的影响下,建立起来的一门新学科泛函分析可以看作无限维空间的解析几何和数学分析它研究的对象不再是某个具体的函数,而是具有某种特征和关系的“函数空间。0世纪以来，数学的发展更是迅猛异常,产生了“优选学”、“规划论、“对策论”、“徘队论”、“计算机理论等等.尤其是第二次世界大战以后,由于科学技术和工程技术上的计算问题的越来越复杂，需要高速、准确地计算许多非线性的、多维的,或为方程组形式的数学问题,算机应运而生。随着计算机的出现,与高新科技紧密相关的数学理论,如控制论、突变论、拓扑稳定性和大范围分析等理论也随之产生今日的数学不仅是一门独立的科学,而且是一
13、种普遍性的技术。它“兼有科学和技术的两种品质。显然，现代数学的许多分支的研究对象，远远突破了传统的“空间形式”和“数量关系”的范围如果我们对“空间形式”和“数量关系”作更广义的理解,如“空间形式并非只有二维和三维欧氏空间，还有 维欧氏空间、 Lochvk空间、拓扑空间等;“数量关系”也扩展到向量、张量等，恩格斯关于数学的本质的科学论断依然是恰当的.事实上,数学发展至今，“数学研究的对象不能只限于我们直接经验到的数量关系与空间形式，而必须包括越来越多的人类悟性的自由创造物.”正如数学家丁石孙所说:“数学的研究对象是客观世界的逻辑可能的数量关系和”如各种代数结构、拓扑结构，以及同态、同调等各种关系
14、,甚至转换、映照等,这些都成为当今数学所研究的纯粹的“量”。必须指出，数学研究的对象似乎抽象成为“远离实际的东西”,但是许许多多抽象出的数学对象与现实世界仍然有着密切的联系。例如，复数诞生之时就起了一个 “虚幻”的名字虚数,可是它在电学、空气动力学中却有广泛的应用；又如,alos群论,在被人们搁置了数十年之后，却在晶体学中找到了应用再如，我国的概率论专家王梓坤,利用概率统计的理论创造了“随机转移、“相关区等数学方法，成功地预报了96年四川松藩大地震。、数学是什么科学？数学本质的另一个问题：数学究竟是什么科学?是演绎科学，还是经验科学呢?或是实验归纳科学呢？由于人们从不同的角度来认识,因而对这个
15、问题有着不同的看法。（1）数学科学的几种论述从数学所从属的工作领域来看.在17世纪以前,Pytnaor学派的数学观占据了统治地位他们认为“数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织,就是数以及数的关系的和谐系统”.Galie说得更明白:“大自然乃至整个宇宙这本书都是用数学语言写出的。依他们看来,科学的本质就是数学，世界是数学的描述形式。这一时期数学成了科学的“皇后。到了17世纪,这种观点发生了明显变化.数学家Alemert把数学划归在自然科学之内,确认它是自然科学的一个门类。数学再不被认为是科学的“皇后”，而是科学的“仆人”，是自然科学的工具直到世纪0年代末，我国杰出的科学家钱学森明确提出，“数学应该与自然科学和社会科学并列”，成为现代科学技术的自然科学、社会科学、数学科学、思维科学、系统科学、人体科学、军事科学、文艺理论、地理科学等十大门类的一大门类.他主张“数学应该称为数学科学钱学森教授这一科学见解,不仅将推动数学自身的发展与繁荣，而且直接影响人们的思维方式，影响着其它的科学进步科学技术飞速发展，愈来愈显示出“高新技术的基础是应用科学,而应用科学的基础是数学”.现代高新技术越来越表现为是一种数学技术正如美国科学院院士Gm所说：“数学是一种关键的普遍适用的
