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1、初中数学竞赛辅导专题（三）初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：（一） 根据非负数的性质求最值。1、 若M =（Xa）2 +b ，则当Xa = 0时M有最小值b 。2、 若M = （Xa）2 + b ,则当Xa = 0 时M有最大值b 。3、 用（ab）20 ，a0,0的方法解题。【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2 + c2 = 9，则代数式 （a b）2 + （b c）2 +（c a）2的最大值是
2、（ ）A27 B、 18 C、15 D、 12 解：(ab)2+(bc)2+(ca)2= 2(a2+b2+c2)2ab2bc2ca = 3(a2+b2+c2)a2b2c22ab2bc2ca = 3(a2+b2+c2)(a2+b2+c22ab2bc2ca) =3(a2+b2+c2)(a+b+c)2 = 27(a+b+c)2 27 . a2+b2+c2 = 9 , a,b,c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2b2c2)后用完全平方式。】例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，
3、N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 解：设 3N+1是完全平方数， 设 3N+1 = X2 （N 8），则3不能整除X，所以X可以表示成3P1的形式。3N1=（3P1）2= 9P26P+1=3X22X+1=X2+X2+（X1）2。即3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为 3 。选 C 。【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2X2X2，然后配方求解。】例题（3）、设a、b为实数，那么a2abb2a2b的最小值是。解：a2abb2a2b = a2(b1)ab22b = a2(b1)a()2b2b =(a)2(b
4、1)21 1 。只有当a= 0且b1= 0 时，即a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是1。 【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】例题（4）、已知实数a、b满足a2abb2=1 ，则a2abb2的最小值和最大值的和是 。 解：设a2abb2 = K,与a2abb2 =1联立方程组,解得：a2b2 = (1K),ab = (1K)。(ab)20, a2b22ab=(1K)2(1K)0, K3 . (ab)20, a2b22ab = (1K)2(1K)0, K . 得 K3 。 所以 a2abb2的最小值是 ，最大值是3 ，这两个值的和是3 。【本题的关键在于直接运用（
5、ab）20 】 例题5、若a、b满足35b= 7 ，则S = 23b的最大值为- ，最小值为- 。 解：联立3 5|b| = 7和S = 23|b|两式，解得19= 215S，19|b|=143S 。 190,215S0,S 。 19b0,143S0 , S , 得 S 。所以S的最大值为 ，最小值为 。【说明：这里直接运用了a0和0 】（二）、直接运用a2b2 2ab ( ab 2 )性质求最值。 例题（6）、若X 0，则函数Y = 的最小值。解：原式 = = 22 = 22 = 4 。所以原式的最小值是 4 。【说明：这个公式的来源是由(ab)20直接推出的。】例题（7）、已知 a、b、c
6、、d均为实数，且abcd = 4 ，a2b2c2d2 = ，求a的最小值与最大值。解：abcd = 4 , bcd = 4- a , (bcd)2 = b2c2d22bc2cd2bd b2c2d2(b2c2)(c2+d2)+(d2+b2)=3(b2+c2+d2) bcd = 4a, (bcd)2 = (4a)2 . a2b2c2d2 = , b2c2d2 = a2 。 （4a）2 3(a2) ,化简得 a(a2) 0 ,解得0 a 2 。 a的最小值是0 ，a的最大值是2 。【说明，本例的关键是划线部份的变换逆用了a2b22ab,从而达到了把(bcd)以及b2c2d2都用a替换的目的。】（三）
7、、用一元二次方程根的判别式=b24ac（结合韦达定理）求最值。 例题（8）、已知实数a、b、c满足abc = 2 ，abc = 4 ，求a、b、c中最大者的最小值 ；求abc的最小值。解：，设a为最大者，则由题意得 bc=2a,bc= ,由韦达定理得b、c是关于X的二次方程X2(2a)X=0的两个实数根。=（2a）2410 ,展开后整理并分解因式得(a24)(a4)4 , a4。所以最大数a的最小值是4 。【即当b=c=-1时a取最小值。划线部份转化为二次方程根与系数关系是关键。另外设a、b、c哪个最大是等价的。】、由知最大数a的最小值为4，所以a、b、c不可能全为正，那么只可能是两负一正，若
8、a为正，则b、c均为负，abc= abc = 2a20 , a4, abc6 . a+bc的最小值是6 。例题（9）、求函数Y = 的最小值。解：原式可化为（X2X1）Y =3X26X5 ，整理得（6Y）X2（122Y）X（102Y）=0，因为X的取值范围是全体实数，所以关于X的二次方程有实数根， = （122Y）24（6Y）（102Y）= 4Y240Y96 0 。即Y210Y24 0 ，由（Y4）（Y6）0 得 4 Y 6 。所以Y的最小值为 4 。【说明：本题也可以用以下的方法来做。Y= 6，当（X2+1）1最小时， 最大，从而得Y最小值是4 。】例题（10）、如图（1-1），在ABC中，
9、D、E分别是BC、AB上的点，且1=2=3 ，如果ABC、EBD、ADC的周长依次为m,m1,m2,求证：的最小值是 。证明：由1=2，C是公共角，得ABCDAC， = ， DC=，2=3得DEAC，BDEBCA，=，而= 1（）2 。令K=则 K =1()2,即()2K1= 0， a、b 为实数， = （1）24（K1） 0 ，得K 4 。 的最小值为4 。例题（11）已知矩形A的边长分别为a、b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比和面积之比都等于K。试问K是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。解：K存在最小值。设矩形B的边长分别为m、n ，根据题意得：
10、 =K，=K，mn =K(ab),mn = Kab ；则m、n 是关于X的方程X2K(ab)XKab = 0的两个根。必须满足=K2（m+n）4Kmn 0 ,K0,K。K的最小值是 。【说明：二次方程根的判别式往往和韦达定理结合在一起应用】（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。例题（12）已知0a4,那么a-23a的最大值等于（ ） A 1 B. 5 C. 8 D. 3 解：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。根据绝对值的几何意义，a=2 ,a=3是两个零点，结合0a4分成0a2,2a3,3a4三段讨论。，当0a2时，原式=52a，当a=0时达到最大值5；，当2a3时，原
11、式=1；，当3a4时，原式=2a5，当a=4时达到最大值3；综合在0a4上原式的最大值为5 。所以选取B。例题（13）、是一个五位自然数，其中a，b，c，d，e为阿拉伯数字，且abcd ,则a-bb-ccdde的最大值是 。解：由已知条件abce时，原式=2dae，当d=9,a=1,e=0时，原式的最大值为17 。所以原式的最大值为17 。例题（14）、，求代数式X1X2X3X2003的最小值。，求代数式X1X2X-3X-2004的最小值。解：，本题用分段讨论法肯定是不恰当的，也太麻烦了。应该用绝对值的几何意义来解比较妥当。因为X1的意义是：在数轴上表示实数X的点到表示1的点的距离。所以只有当
12、X在表示点1、2、3、2003的正中位置时，即当X=1002时，X1X2X3X2003的值最小，即原式最小值为100110009992101299910001001 = 2（1231001）= 1003002。，因为1、2、3、2003、2004的正中位置在数1002和1003之间，所以当X在1002X1003范围内取任意一点值时，原式都能取到最小值。当X=1002或X=1003时原式的值最小。现用X=1002计算，原式的最小值为1001100099921012100010011002 = 2（121001）1002 = 1004004 。【说明：对于求Xa1Xa2Xa3Xan型代数式的最小值，有如下结论可以应用：当an是奇数时，在X=时，代数式的值最小；当an是偶数时，在X时代数式的值最小。】（五）、用二次函数图象性质求最值。例题（15）、若y1,且2xy = 1.则2x216x3y2的最小值是。解：y1,1y1,由2xy=1得y=12x，即112x1,0x1.又y=12x,y2=4x24x1,2x216x3y2 = 14x24x3 = 14(x)2. 0x1,而二次函数的图像对称轴是直线x=，在对称轴的右侧，y随x增大而增大，当x=0时，原代数式的最小值是3 。（当x=1时有最大值21。例题（16）、设m是不小于1的实数，使得关于X的方程X22(m2)Xm
