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1、关于超几何分布和二项分布的小题目徐峰在教学过程中发现学生在学习完超几何分布和二项分布以后，学生不能正确的理解好 什么是超几何分布(古典概型利用组合数计数)、什么是二项分布(利用独立性，互斥性)及其区别.下面我通过几个例子说明一下两者的区别超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有 M件次品，抽检n件时所得次品数X=k则 P(X=k)此时我们称随机变量 X服从超几何分布(hypergeometric distribution)1)超几何分布的模型是不放回抽样2)超几何分布中的参数是 上述超几何分布记作M,N,nXH(n , M , N)。二项分布：二项分布(Binomial Distr
2、ibution)，即重复 n次的伯努力试验(BernoulliExperiment),用E表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是P,则不发生的概率 q=1-p , N次独立重复试验中发生k次的概率是p( = k)=c：pkq2上述二项分布记作B( n,p)下面我通过几个例子说明一下两者的区别【例1】某人参加一次英语考试，已知在备选题的10道试题中能答出其中的 4道题，规定每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试，求答对题数 的分布列？解：由题意得上-0 , 1 , 2 , 3.服从参数为N =10, M =4, n = 3的超几何分布.P(:3-0H C：201C10120612P(:= 1H
3、C-a 一3_60c101202 1P( =2)d3 1201C10P( =3)10故的分布列310343120300123P1131621030点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题, 把事件发生的概率看做是 0.4。【例2】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0, 1，2，3则甲赢，若最后一位出现6，7，8，9则乙赢，若最后一位出现 4 , 5是平局.玩三次，记甲赢的次数为变量 X ，求X的分布列解：由题意得：X =0，1，2，30 3P(X =0) =C30.63 = 0.21612P(X =1) =C3 0.62
4、0.4 =0.432P(X=2)p3 0.6 0.42 = 0.288P(X =3)弋；。3 064故X的分布列X0123P0.2160.4320.2880.064点评：学生这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为X服从N =10, M =4, n =3的超几何分布。【例3】已知一批种子发芽率为0.4现在从中选取三颗进行测试，记其发芽数为，求 的分布列。解：由题意得-0，1，2，3. B(3.0.6)03PC： =0) =C30.63 =0.2 1 6P(H =1) =C3 汉0.41 汉 0.62 =0.432P( =2)0.42 0.6 =0.28 8P( =1)二C； 0.4
5、3 =0.064故的分布列n0123P0.2160.4320.2880.064点评：与例2比较这两个题目是完全相同的。二项分布应满足独立重复试验: 每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生) 任何一次试验中发生的概率都一样 . 每次试验间是相互独立的互不影响的例1在抽取过程中可以认为是不放回的抽取，两次抽取之间是有影响的不是独立的。 例2、例3在抽取过程中可以认为是有放回的抽取，两次抽取过程中是互不影响的。【例4】（2006 广东，16）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下:X0 678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.求
6、的分布列？解：由题意得上=06 , 7 , 8 , 9 , 10. P( = m) = P(次命中m环，另一次命中的环数 小于m) P(两次命中m环)，.P( =0 6) =2 0 0 0 0 =0P( =7) =2 0.2 0 0.2 0.2 =0.04P( 8) =2 0.3 0.20.3 0.3721P( =9)=2 0.3 (0.2 0.3) 0.3 0.3 =0.39P( =10)=2 0.3 (0.2 0.3 0.3)0.2 0.2 = 0.36故的分布列为匕0 678910P00.040.210.390.36点评：学生容易把本题看做是超几何分布，理解成【例5】，本题利用课本上推到
7、二项分布公式的原理中事件的独立性和互斥性。【例5】一个袋中装有10个大小相同的小球，其中标号为7的球2个，标号为8的球3个,标号为9的球3个，标号为10的球2个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为，求的分布列？解：由题意得 =7 , 8 , 9 , 10 .当 =m时包含一个球标号为 m和一个球标号比 m小，和两个标号都是 m故的分布列为匕78910P11217455545P( =7)C22C10P( =8)1C3C2 C32Co45P( =9)1 1C3C5 C18P( =10)二2C10451 1C2C8 C2172C1045【例6】一个袋中装有20个大小相同的小球，其中标号为7的球4个
8、，标号为8的球6个,标号为9的球6个，标号为10的球4个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为，求的分布列？答案:匕78910P339157951903819点评：【例5】和【例6】虽然球所占的比例相同，但分布列也不同。两次试验都可以 看做是不放回的抽取，两次抽取不是相互独立的。对比同学看以看一下下面两道超几何分 布问题 袋中有10个完全相同球，其中白球3个，黑球7个，从中，取出2个球记录其中白球个数为，求的分布列. 袋中有20个完全相同球，其中白球6个，黑球14个，从中，取出2个球记录其中白球个数为，求的分布列.【例7】一个袋中装有10个大小相同的小球，其中标号为7的球2个，标号为8的球3个
9、,标号为9的球3个，标号为10的球2个.从盒子中任意取出一个球，放回后第二次再任取一个球，记两次球标号较大的为，求 的分布列？方法解： =7 , 8 , 9 , 10 .由【例1】中类似的方法P( =7) =0.2 0.2=0.04P(，8) =2 0.3 0.20.3 0.3 =0.21P(r=9) =2 0.3(0.2 0.3)0.30.3 =0.39P(=10)=2 0.3(0.2 0.30.3)0.2 0.2=0.36n78910P0.040.210.390.36方法二：由分步计数原理共计有1010 =100种取法，当r 时有（标号小于等于m）2 （标号小于m）2种取法.P( =7)2 210 10= 0.04P( =8)5 5 -2 210 10= 0.21P( =9)8 8 -5510 10= 0.39P( =10)10 10-881010= 0.36故分布列为n78910P0.040.210.390.36点评：【例7】可以看做是又放回的抽取，每次抽取是相互独立的。小结：当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数 很大时，超几何分布变为二项分布。独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题, 但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。
