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1、运用数学知识求解物理极值问题摘 要：物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，已成为中学生学习物理的难点。通过对物理极值问题的探索和求解,总结出中学物理极值问题的基本规律,并归纳出解决物理极值的基本方法:建立与物理问题对应的数学模型,化物理极值问题为数学极值问题,从而用中学数学中各种求极值的方法求出物理极值.关键词：物理极值问题、数学模型、三角函数、不等式、二次函数、极限、几何法。在中学物理中，描述某一过程或者某一状态的物理量，在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约，其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际，求这
2、些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值。求解物理极值问题，通常涉及到的数学知识有：二次函数求极值的方法,不等式法，点到直线的距离最短,求导数、因式分解,三角函数,几何作图法,有关圆的知识等等。在求解物理极值过程中要想能与数学知识进行灵活的整合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述，解释，预计或分析出与实际事物相关的规律。一、 利用三角函数规律求物理极值的问题在物理极值问题中，有许多题目里的物理量变化关系与角
3、度变化有关，于是，对这一类问题，我们只要着眼于列出被求物理量与角度相关的物理方程，再利用三角函数的有关规律即可求解物理极值。.可直接利用三角函数在区间存在的极值求解的问题（即直接法）：（900，1sin0）图一(2)图一(1)vbFNmgCCBBAAa【问题一】：如图一(1)所示,底边AB恒定为b,当斜面与底边成夹角为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出问题物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。设夹角为时，斜面长为S，物体质量为m，沿斜面方向的加速度为a，所用时间为t，受
4、力分析如图一（2）所示，据题意有：由运动学和牛顿第二定律有： mgsin=ma联立式解得：可见，在900内，当sin=1时，即2=90，=45时，有最短时间：2.可利用三角函数变换求解极值的问题（替换法）：（如出现cos+sin的情形）在含有三角函数的物理方程中，若一时无法判定其极值时，可通过三角函数对一些确定物理量的替换，然后利用三角函数的有关变换公式转变后进行讨论，求解物理极值。【问题二】：如图二（3）所示，物体放置在水平地面上，它们之间的动摩擦因数为，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？图二（4）FNfGyXF图二（3）FV该题的已知量只有和G，说明最小拉
5、力的表达式中最多只含有和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹 角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角为，根据题意可列平衡方程式，受力分析如图二（4）所示，FX=0，Fy=0即由联立解得：由于、G一定，欲使F最小，必须cos+sin最大，但在090内，cos和sin对同一值不可能同时有最大值，因此，必须作适当的三角函数变换，一定，令=tg(一定)则当时，有最小拉力又 二、 利用不等式性质求物理极值的问题：（如：，当时，有最小值，有最大值）【问题三】：如图三（1）所示中，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器
6、的最大阻值为R，当滑动变阻器连入电路的电阻RX多大时，在变阻器上消耗的功率最大？解：设变阻器连入电路的为RX（0RXR），由闭合电路欧姆定律有：图三（1）RR1r则欲使即三、运用二次函数求极值1、利用二次函数极值公式求极值对于典型的一元二次函数,若,则当时,y有极小值，为；若,则当时,y有极大值，为；【问题四】:一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为，汽车做匀加速运动，其位移为：两车相
7、距为：这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故S有最大值。当2、利用一元二次方程判别式求极值对于二次函数，可变形为一元二次方程用判别式法 即：则由不等式可知y的极值为：对于例题4，我们可以转化为二次方程求解。将 可转化为一元二次方程：要使方程有解，必使判别式解不等式得：，即最大值为6m四、运用几何法几何知识在力、运动合成和分解、功能关系研究、电磁场中导体和带电粒子的运动等等问题中都有极广泛的应用。灵活地掌握几何方法是在很大程度上能有助于物理问题的求解。图五（1）v水v开sv合【问题五】：一条河宽L=60m，水速v水=4m/s，船在静水中的开行速度v开=3m/s。（1）求小船渡河的最短时
8、间t，这样渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？解析：（1）小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运动的合成。由分运动之间互不影响，且河岸的宽度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的时间就越短，即当小船船头垂直于河岸方向运动时如图五（1），时间最短：v水v开sv合图五（2） tmin=L/v开=60/3s=20s， s=v合tmin=520m=100m（2）运动的合成与分解遵循平行四边形定则，由v开 v水，即小船不可能垂直到达对岸。只有当v开、v水两个速度的合速度与河岸的夹角越大，则小船的实际位移越小。把代表v开的有向线段移到代表v水的有向线段
9、端点，如图五（2）所示，可见：改变船头的方向，有向线段v开的箭头端点始终在一圆弧上。随着船头方向的改变，合速度的方向也随之改变。只有当船头的朝向与合运动的方向垂直时， 有最小值。由几何知识可得：cos=v开/ v水=3/4，又cos=L/smin，即smin =80m。五、利用极限方法求极值极限是描述数列或函数在某一无限过程中的变化趋势，利用极限方法求某物理量的极值，可加深对物理知识的理解，从而提高学生分析解决问题的能力。【问题六】：一个篮球从离水平地面高为H处自由落下，当它到达地面后被弹起，每次弹起后上升的高度为弹起前下落高度的k倍（k1），不计空气阻力，问：篮球在跳动过程中可能经历的总路程
10、多大？解：篮球跳动无穷多次后最终停在水平地面上，设篮球第一、二、次下落的高度分别为h0, h1, h2，据题意有：h0=H , h1=kH , h2=k2H，hn=knH。篮球经历的总路程：nS=lim(h0+2h1+2h2+2hn) n =lim(H+2kH+2k2H+2knH)n =lim2H(1+k+k2+kn)H = H。以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。解决极值问题的关键不仅要求学生理解掌握高中物理的基本概念，基本规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力。综上所述，无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化。参考文献：1、任建新：动力学中的临界问题。中学生理科月刊。2004（2）。 2、范雄兵：增强处理物理问题的数学意识浅见。中学物理教学参考。2003（8）。3、王心：物理极值问题求解方法。中国人民大学，1997年4期。4、姚 勇： 极值问题的情景分析法。物理的教与学，1998年2月。
