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1、第五章小波变换基本原理问题 小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？一尺度 小波发展史11910 Harr 小波80年代初兴起Meyer小波解析形式80年代末Mallat多分辨率分析一WT无须尺度和小波函数一滤波器组实现90年代初Daubechies正交小波变换90年代中后期Sweblews第二代小波变换 小波变换与短时傅里叶变换比较a.适用领域不同b.STFT任意窗函数 WT （要容许性条件） 小波相关概念，数值实现算法多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造MRA的滤波器实现 小波的历史地位仍不如FT,并不是万能的5.1连续小波变换一. CWT与时频分析1.概念
2、：CWT （a, b） = 4 j+8 s （t）w *（ t）dta| -a2.小波变换与STFT用于时频分析的区别STFT小波变换基函数y (t) N (t 一 mT )ejwtW (t) W *( 二)Jaa时频轴平移+调制（线性频轴）平移+伸缩a -尺度-对数频 轴基函数特征包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定时频分辨y (t mT)ejwt, mT,w附近fb, W0附近率a )适用情况渐变信号突变信号I2轴spectrogramscalogram结果复数实数3.WT 与 STFT 对比举例(Fig5-6, Fig5-7)二.WT几个注意的问题1. WT与W(t)选择有关应用信号分析
3、还是信号复原2.母小波W (t)必须满足容许性条件C =j+8W s隐含要求W(0) 二 0,即W(t)具有带通特性 利用CW可推出反变换表达式S (t) = j+sj+8_L CWT (a, b)W (口 )dadb C s s a 2aW3. CWT高度冗余(与CSTFT相似)4. 二进小波变换(对平移量b和尺度进行离散化)a = 2 - m, b = n 2m n (t) =- W () nW (t) = 2: W (2 mt n)a,b；|am,nd = CWT(2-m, n 2-m) = !+sS (t)W *(t)dtm，nsm ,n5. 小波变换具有时移不变性S (t) I CW
4、T (a, b)S (t b0) I CWT (a, b b0)6. 用小波重构信号W(t)m ,nS(t) =EEd W (t)正交小波EEd m ,n m,nm,m=s n=sm=s n=s中心问题：如何构建对偶框架Wm,n如何构建正交小波?学习目的一理解MRA5.2分段逼近PAM-信号近似ADC一.分段逼近的引入很显然采样率越高，T越小，逼近误差越小，采样率8无误 差1.采样率增大的尺度体现4 (t )=1, 0 t = 2亍尸叩(2mt n帅 *(2mt n)dt = 888m,nm ,n_m,m n,nr信号在正交基函数上投影即为小波系数mn22中(2mt _ n) 形成正交基nmJ
5、d = 2 2 J+8S(t)p *(2mt _ n)dtm撰8分段逼近的推广一MR4 一.多分辨率分析含义由内空间0 U V 1 u V u V 1 u 组成若V0空间尺度函数中(t)平移正交：j f(t )4 *(t _ n) =8 (n)则中(t)为V空间尺度函数，任一函数S可用4 (t)表示S(t) = C 4(t-n)0nC =j+8S(t)4 *(t n)dtn 8 S (t) G 当且仅当S (2t) G Vm+1成立 匕交集为0n匕=hm 平方可积空间即为V并集逼近 limV = L2(R)mT8问题：Harr小波构成最简单MRA如何构造选其它具体的MRA体系二.正交小波函数的
6、系统构造1. 两尺度方程引入低通滤波器与尺度关系，、一，.1 ,1 .Harr 小波满足。)=8(2t) + 8(2t 1) = 2 -(2t) + 8(2t 1)22=2 ；J 满足(2) = 2h (n)(t n)卷积关系 n 频域反映令 h0(n) I H决w) Nt) .(w) nN；)2(2w)n h *。I H (w)巾(w)n2巾(2w) = 2H (w)(w)艮口。(2w) = H (w)(w)oo 含义a. H0 (0) = 1, h0 (n)为LPFb. 根据 MRA,(w) = H0 (；)中(；)=HH0 (川(0)k=1c. (0) = 12.QMF的引入4 (t)的
7、尺度正交关系的频域反映m(t)4 *(t- n) = 8 (n)34(t n) I e-jnw4(w) n 频域也正交J+34 (w)4 * (w)Z ejnwdw = 8 (n) 2兀3n两边对n求和n J+34(w)4 * (w)Z einwdw = 12兀3利用泊松求和公式Z f (n)e - jnw = Z F (w + 2n兀)nn(令 f (n) = 1,则F(w) = 2兀8 (w) 有 Ze-jnw = 2kZs (w + 2n兀)nn -1 Zg=&(w-2n 兀)2兀nnn J+侦w) * (w)Z& (w - 2nK )dw = 1-sZ J+s (w)| w V8 (
8、+ 2n兀)+ H ( + 兀) o 2 8 (w 一 2n 兀)dw = 1-s2 = 1 n|8 （w + 2k兀）|2 = 1nkQMF正交镜像滤波器组的导出即：治(w 2n兀)利用两尺度关系斗(；+ k兀)H 0 (w + k兀)=1k对k分奇偶讨论Z H (y + 2n兀)8 (y + 2n兀)+w _,w ,H o (- + (2n +1)兀)8( - + (2n +1)兀)8 (w + (2n +1)兀)=12nn H2+H oG+n |H 0 (w)|2 + |H 0( w + 兀)|2 = H 0 (w) H 0* (w) + H 0( w + 兀)H 0*( w + 2 兀
9、)=1 含义a. H0 (0) = 1 n H0 (兀)=1, |H0 (w + 兀)|为H0 (w)镜像1b. 功率互补条件一半带条件P (w) = H 0 (w) H 0* (w)H0(w + 兀)23.正交小波滤波器满足的条件频域关系根据3),03-#)=。可推出H (yv)H *(w) + H (w +兀)H *(w +丸)=0 0101上式的解为 H (w) = -e-jWH *(w +兀)10时域关系令 h (n) . H (w) h (n) s H (w)根据H(w) = Z h(n)e-jn 1100nh (-n)。H * (w)oo(-l)M (-n) H *(w + 7i)
10、00(-l)n i/z (1-n) e-jH *(w + 7i)00h (n) = (-l)nh (1-n) e-jH *(w + 7i) 100易证H(w)也为 小波滤波器同样满足两尺度关系r cp(r)= z 侬冲幻 1kJ(p(w) = H (冲(；)=H (；)Rh (：) i 22 i 2 o 2kk=24.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示5.H (w) H (w)oiH(W + 7T) H *(W+兀)H (w)01-IL tMRA 解释H (w)oH O + 兀)0H (w + 兀)1 正交补n%2=.W WWm-1 m m+1S(t) = 无d cp (0 m,n m,nL=_8d = J+O05(0(p *(gm,nm,noo例：求Harr小波的频域尺度函数和小波函数解： 中(w) = H H (w) = e -jw 2 H Cos
