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1、数值分析试题填空题(2 OX 2)1.21，X设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，贝U x有_2位有效数字2.x3 + 1 ,若 f(x)=x7f20,21,22,23,24,25,26,27,28=f20,21,22,23,24,25,26,27=_J3.,11 X | *II AX | * 15 _04. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足| x)| 1，计算时不会放大 f(xi)的误差。8. 要使 20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=
2、0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)110.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5ox00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 一|f(xn+1)|f(xn)|o12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1-,n)来实现的，其中的残差r i = (bi-ai1 x1-ai2x2-ainxn)/aii， (i=0,1,，n)。13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点X0的选取依据为f（xO）f ”x0）014.
3、 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（10XT）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX= b一定可以使用高斯消元法求解。（X ）2、 解非线性方程f（x）=O的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。（）3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naHaj（i 1,2,.,n）j ij i则解线性方程组AX= b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。（X ）4、样条插值一种分段插值。（）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。（）6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。（）7、 解线性方程组的的平方根
4、直接解法适用于任何线性方程组AX= bo（ X ）8迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。（X ）9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。（）10、 插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。（X ）三、计算题（5X 10）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1 x2 x345x1 4x2 3x3122x1 x2 x311解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行:5x1 4x2 3x312x1x2 x342x1 x2 x311L2i=1/5=0.2,131 =2/5=0.4
5、方程化为：5x1 4x2 3x3120.2x20.4 x31.62.6x20.2x315.8(-022.6)最大元在第三行，交换第二与第三行:5x1 4x2 3x3122.6x20.2x315.80.2x20.4 x31.6L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化为：5x1 4x2 3x3122.6x2 0.2x315.80.38462x30.38466回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4（x），并写出其截断误差的表达式（设f（x）在插值区间上具有直到五阶连续导数）。Xi012f(Xi)1
6、-13f (Xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一 赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代 法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。2xi X2X41Xix3 5x46x2
7、 4x3x4 8Xi3x2X3解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:2x1X1x2x4 13x2x33x2 4x3x4 8X1X3 5x46雅克比迭代公式:2x1X1x2x4 13x2x33X2 4x3X4 8X1x3 5x46计算机数学基础（2）数值分析试题3x 10x2(C)23x 10 2 x 33x 10x2(D)2x 4 2 x 3f (xQh(ykyk 1)f (xk 1)丄(ykyk 1)4.等距二点的求导公式是()(A)1h(B)1f(xk)-(yk yk1)f (Xk 1) (yk yk 1)h一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.已知准确值 x*与其有t
8、位有效数字的近似值x= 0.0aia2anX 10s(ai 0)的绝对误差x* x () (A) 0.5 X 10 s1 t(B) 0.5 X 10 s t(C) 0.5 X 10s+1 t(D) 0.5 X2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()21005 2 10121014 10(A)(B)0121114 100120 0 1252 10421114 211410(C) c(D)21 4121 4 100 1213153.过(0,1), (2,4),(3,1)点的分段线性插值函数P(x)=()33,ccx 10x2x 10x2(A)2(B)23x 102x33x2 10 2 x 31f (
9、xQ -( yk yk 1)(C)h(D)1f (xk 1) -(yk 1yk)h5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是1yk 1 尹卩yc)那么yp,yc分别为()(A)VpycYkYkhf(Xk，yQypYcyk hf (xk 1, yk)Yk hf (xk, yp)hf 区 1, yk)(B)ypykfg yk)Ypykhf (xk, Yk)(C)(D)ycykfg yp)YcYkhf (xk 1,Yp)、填空题(每小题3分，共15分)6. 设近似值 xi,x2满足(xi)=0.05 , (X2)=O.OO5，那么(xix2)=.7. 三次样条函数 S(x)满足：S(x)在
10、区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且满足S(x)在每个子区间Xk,xk+i上是.bnn8. 牛顿科茨求积公式f (x)dxAk f (xj，贝UAk =.ak 0k 09. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ,则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是预报值： yk 1yk hf(xk,yk)，校正值：yk+1=.三、计算题(每小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组8x-|3x22x3204x-i11x2x3336x13x212x336的X.取初
11、始值(0,0,0)T,计算过程保留4位小数12. 已知函数值 f(0)=6 , f(1)=10 , f(3)=46 , f(4)=82 , f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差 f(4, 1 , 3).313. 将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分.1 x2dx，计算过程保留4位小数.114. 用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题(本题10分)15. 证明求常微分方程初值问题y f (x, y)y(x。)y。在等距节点a=xox1xn=b处的数值解近似值的梯形公式为hy(xk+1) yk+1=yk+f(xk,
12、yk)+f(xk+1,yk+1)2其中 h=Xk+1 xk(k=0,1,2,n 1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)I. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空题(每小题3分，共15分)6. 0.05 x2 +0.005 X17. 3 次多项式h一一8. b a 9.(x) r110. yk+- f (xk, yk) f(xk 1,Yk 1) hf(xk+1, yk 1).三、计算题(每小题15分，共60分)II. 写出迭代格式0.5x1k) O.25x2k) 0 3x(O)=(o,o,o)Tx1k 1)0 0.375x2k)O.25x3k)2.50.3636x1k) 0 O.O9O9x3k) 3Xi0.3636 0 0 0.0909 0 3 30.5 0 0.25 0 0
