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1、抛物线中过对称轴上定点弦的几个性质湖北省枣阳市第一中学 周贵明性质1过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，则这两点的纵坐标之积为定值。证明：设直线的方程为，由消去可得 ,从而有即这两点的纵坐标之积为定值。性质 2过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线相交于点Q，则点Q在定直线上。证明：由性质1得,抛物线在两点处的切线分别为, ,联立解得即Q点在定直线上。性质3过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，自向直线作垂线，垂足分别为、,则三点共线。证明：由性质1得, (,), ,所以直线经过原点，即三点共线。性质4 过原点的直线与抛物线相交于点，与直线相
2、交于点，自作轴的平行线与抛物线相交于点,则直线过定点。证明：设直线为 ，联立解得，即，联立得，故，即,三点共线，即直线过定点。性质 5过抛物线的对称轴上一点A的直线与抛物线相交于两点，点关于轴的对称点为，则直线过定点Q。证明：设直线的方程为，则有联立，消去可得，从而有，,三点共线，即直线过定点。性质 6过抛物线的对称轴上一点A作抛物线的切线，则切点的横坐标为。证明：设直线的方程为，切点，联立，消去可得，由得，代入方程得，即，即切点的横坐标为。性质 7过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，点是直线上任意一点，则直线的斜率成等差数列。证明：由性质1得,直线的斜率= ,直线的斜率=, 直线的斜率=+=+=所以，+=2，即直线的斜率成等差数列。
