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1、第二节 直线的交点坐标与距离公式备考方向要明了考什么怎么考1能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标.2掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离.1两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点岀 现在相关的位置关系中.2两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的 距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查.倒筒辭爼密剧逼垃丽髓何令径也裁閤归纳知识整合1两条直线的交点设两条直线的方程为、伴呷+咕整乂+护哄0,则两条直线的交点坐标就是方程组的解，Ax + By + C =0,111A x+B y+C =022
2、2(1) 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标;(2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立.探究 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交;没有交点时，两条直线平行，有无数个 交点时，两条直线重合2距离点 P1(x1, y1)，|PP|=、/ x -x 2+ y -y 2 P(x,y)之间的距离12% 2 12 12 2 2点P（x,y）到直线1： Ax+By + C = 0的距离0 0 0|Ax +By + C| 寸人2+ B2两条平行线Ax+By + C = 0与Ax+By+C =01 2间的距离X
3、|C-C| d =1-g-HxjA2 + B2探究2使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么?提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式.使用两条平行线间距离 公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等.自测牛刀小试1.（教材习题改编）原点到直线x + 2y-5二0的距离是（）A.1b.“J3C. 2 D.丽解析：选D2点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是（3,4）,则AB的长为（A. 10 B. 5C. 8 D. 6解析：选 A 设 A（a,0）, B（0, b）,则 a = 6, b = 8, 即 A（6,0）, B（0,8）.所以
4、 |AB| = 、j 6-0 2 +0-8 2 = ： 36 + 64 = 10.3若三条直线2x + 3y + 8 = 0,x-y-1= 0和x+by = 0相交于一点，则b =（）1A.-1 B.-1C. 2 D.gx=-1,y=-2,12x + 3y + 8 = 0, 解析：选B由x-y-1=0,将其代人x+by = 0,得b=-g4已知直线片与l2：x + y-1=0平行且片与的距离是农，则直线*的方程为解析：设直线片的方程为x + y+入=0,则|一1 一入I I 入 +11解得入=1或入=-3.即直线片的方程为x + y + 1= 0或x + y-3 = 0.答案：x + y +
5、1 = 0 或 x + y-3 = 05点(2,3)关于直线x + y+1= 0的对称点是解析：设对称点为(a, b),则b-3a2解得J-4,b=-3.a+2 b+3I + + 1=，答案：(-4,-3)5ffl- 1两条直线的交点问题例1 (1)经过直线l : x + y + 1= 0与直线|：x-y + 3 = 0的交点P,且与直线l：2x123y+2=0 垂直的直线 l 的方程是(2)已知两直线l ： mx+8y + n = 0与l : 2x+my-1 =0,若丨与l相交，则实数m, n满1 2 1 2足的条件是x+y+1=0,自主解答法一：由方程组x-y+3 = 0,解得f=1_2,
6、y = 1.即点 P（2,1）,J 丄|,.k=_2，直线 I 的方程为 y-1=-*x + 2),即 x + 2y = 0.法二：直线I过直线I和I的交点，12可设直线I的方程为x + y + 1+入(x-y + 3) = 0.即(1 + 入)x +(i - 入)y + l+3 入=0.I与13垂直，.边仃+入)一(1一入)= 0,解得入=冷24 直线I的方程为3X + y = 0,即x + 2y = 0.(2)因为两直线丨与丨相交，所以当m = 0时，1的方程为y =-8，丨的方程为x = J,两1 2 1 8 2 2直线相交，此时m, n满足条件m = 0, neR；当mM0时，由两直线
7、相交.m8所以2，解得山工4,此时，m, n满足条件m4, neR.答案(1)x + 2y = 0 (2)mz4, neR甌颇若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求丨的方程.fx + y+1 =0,fx=-2,解：由方程组解得_x-y + 3 = 0,y = 1,即点 P(-2,1).又丨丨3,即k = 2,故直线丨的方程为y-1=2(x + 2),即 2x-y+5=0. 零主经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线Ax+By + C = 0和Ax+By + C = 0的交点的直线系方程为Ax+By +1 1 1 2 2 2 1 1C +入(Ax+By + C) = 0(这个直线
8、系方程中不包括直线Ax+By + C =0)或m(Ax + By + C)1 2 2 2 2 2 2 1 1 1+n(Ax+B y+C )=0.222|歴式训竦1设直线丨：y = kx+1, I ： y = kx-1,其中实数k, k满足kk + 2 = 0.1 1 2 2 1 2 1 2(1) 证明丨1与 丨2相交；12(2) 证明丨与丨的交点在椭圆2X2 + y2 = 1上.12证明：(1)反证法：假设丨与丨不相交，则丨与丨平行，则有k =k，代人kk+2 = 0得1 2 1 2 1 2 1 2k2 = k2=-2，显然不成立，与已知矛盾，从而k zk,即丨与丨相交.1 2 1 2 1 2
9、(2)由方程组y = k x + 1,T-1,解得交点p的坐标为卜务，出21212X2 + y2 = 2 卜务 +21(k +k) 也- kJ8+k2+k2+2k k k2+k2-2k k 2 1 1 2k2+k2+41 2k2 + k2 + 412即交点P(x,y)在椭圆2X2 + y2 = i 上.距离公式的应用例2 已知点 p(2，-1)(1) 求过P点且与原点距离为2的直线I的方程；(2) 求过P点且与原点距离最大的直线I的方程，最大距离是多少？(3) 是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求岀方程；若不存在，请说明 理由自主解答(1)过P点的直线I与原点距离为2，而P点坐标为
10、(2,-1)，可见,过P(2，-1)且垂直于X轴的直线满足条件,此时I的斜率不存在，其方程为x = 2.若斜率存在，设I的方程为y + 1= k(x-2)，即 kx-y-2k-l =0.|-2k-1|3由已知得話=2，解得k = 4此时I的方程为3x-4y-10 = 0.综上，可得直线I的方程为x = 2或3x-4y-10 = 0.(2)作图可得过P点与原点0的距离最大的直线是过P点且与P0垂直的直线，如图.由1丄0P，得 kkoP=-1,所以k广-甘OP由直线方程的点斜式得y +仁2(x_2),即 2x-y-5 = 0.|_5| L即直线2x_y_5 = 0是过P点且与原点0距离最大的直线，
11、最大距离为詈=；5(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过、馬的直线,因此不存在过 P 点且到原点距离为6 的直线求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平行线间的距离公式|座式训练2.已 知A(4,_3),B(2,_1)和直线 l：4x + 3y_2 = 0,在坐标平面内求一点 P, 使 |PA|= |PB|，且点P到直线l的距离为2.解：设点P的坐标为(a, b).A(4,_3), B(2,_1),线段AB的中点M的坐标为(3,_2) 而AB的斜率kA广_+J=_1,AB 4_2线段AB的垂直平分线方程
12、为y + 2 = x_3, 即 x_y_5 = 0./点P(a, b)在上述直线上，.a _b _5 = 0.又点 P(a, b)到直线 l： 4x + 3y_2 = 0 的距离为 2,.|4* + ?_2| = 2,5即 4a + 3b_2 = 10,27由联立可得a = l,b=_4,b=_所求点P的坐标为(1,_4)或岸,8、7丿例 3已知直线 I： 2x-3y + 1= 0,点 A(-1,-2)求:点A关于直线丨的对称点A的坐标；(2)直线m： 3x-2y-6 = 0关于直线丨的对称直线m的方程.自主解答(1)设A (x,y),再由已知33解得y2 2XT1X3=-1，x-1 y-22
13、 X 2- 3 X 2+1=0j+k ( 334)故A -乜，K在直线m上取一点，如M(2,0),则M(2,0)关于直线丨的对称点M必在直线m 上.设对称点M (a，b),则2X“-3X“+ 1=0,b-0 22X3=-1,得 M设直线m与直线I的交点为N,则|2x-3y + 1= 0, 由3x-2y-6 = 0,得 N(4,3)又 vm经过点 N(4,3),由两点式得直线m的方程为9x-46y + 102 = 0.r 股求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上.利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题.|座式训练3直线y
14、 = 2x是厶ABC的一个内角平分线所在的直线，若点A(一4,2), B(3,1),求点C 的坐标.解：把A, B两点的坐标代人y = 2x 知, A, B不在直线y = 2x上，因fty = 2x为乙ACB的平分线，设点A(-4,2)关于y = 2x的对称点为A (a, b),则kAA二罟，线段AA的中b-2_ fa-4 点坐标为b + 2嗣 + 4 2- J2 丿 b + 2 a-4 二2 1 2 2解得匸4,b=-2A (4,-2).y + 2vy = 2x是乙ACB平分线所在直线的方程，.A在直线BC上，直线BC的方程为二x-4=，即 3x + y -10 = 0.3-4讥10=0,解得x = 2,y = 4, C(2,4).通法;归纳领悟1条规律一一与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax +By + C = 0(A2 + B2工0)垂直和平行的直线方程
