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1、南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1集合Ax| x2x60，Bx| x240，则AB=2已知复数z的共轭复数是若z(2i)5，其中i为虚数单位，则的模为S1I1WhileI8 SS2 II3End WhilePrint S3某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在50，60元的学生人数为(第3题图) (第4题图)4根据如图所示的伪代码，
2、可知输出S的值为5已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为6若实数x，y满足则的取值范围为7. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：若l，l，则； 若l，则l； 若l，l，则； 若l，则l其中真命题为（填所有真命题的序号）8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为9若等比数列an的前n项和为Sn，nN*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为10若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)则f(a+1)的值为11在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2y
3、26x4y80与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点若D为线段AC的中点，则直线l的方程为12在ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点若5， ，则的值为13若正数a，b，c成等差数列，则的最小值为14已知a，bR，e为自然对数的底数若存在b3e，e2，使得函数f (x)exaxb在1，3上存在零点，则a的取值范围为二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分14分)y在平面直角坐标系xOy中，锐角，的顶点为坐标原点O，始
4、边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为（1）求cos2的值；QP（2）求2的值.xO(第15题图)16.（本小题满分14分）(第16题图)ACBMDEP如图，在三棱锥PABC中，PA，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点（1）求证: 平面PBC平面ABC；（2）若PD平面AEM，求PM的长17(本小题满分14分)ABCDFE(第17题图)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为2百米，ACBC，A为若在半圆弧，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，
5、DF，使DEAB，DFAC. 记CBD（）（1）试用表示BD的长；（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.18(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)经过点P(，)，离心率为. 已知过点M(，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；xyO(第18题图)MBA（2）试问x轴上是否存在定点N，使得为定值若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.19(本小题满分16分)已知函数f (x)2x33ax23a2（a0），记f(x)为f(x)的导函数（1）若f (x)的极大值为0，求实数a的值；（2）若函数g (x)f (x)6x，求g (x)在
6、0，1上取到最大值时x的值；（3）若关于x的不等式f(x)f(x)在，上有解，求满足条件的正整数a的集合20(本小题满分16分)若数列an满足：对于任意nN*，an|an1an2|均为数列an中的项，则称数列an为“T 数列” （1）若数列an的前n项和Sn2n2，nN*，求证：数列an为“T 数列”； （2）若公差为d的等差数列an为“T 数列”，求d的取值范围；（3）若数列an为“T 数列”，a11，且对于任意nN*，均有anaaan1，求数列an的通项公式南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 2018.05B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，B，若直线l: xy20在矩阵AB
7、对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程C选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，），圆心C为直线rsin()与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程22(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A(1，a) (a0)是抛物线C上一点，且AF2（1）求p的值；（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AMAN记点M，N到直线y2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值F(第22题图)xyOAMN23(本小题满分10分)已知fn(x)Ax(x1)(xi1)，gn(x)Ax(x1)(xn1)，其中xR，nN*且n2（1）若fn(1)7g
8、n(1)，求n的值；（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn(x)gn(x)0所有解的集合南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）13，2，2 2 3150 47 5 6，2 7 8 94 102 11x2y40 123 13 14e，4e二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，为锐角，所以cos， 2分所以cos22cos21
9、4分（2）因为点Q的纵坐标为，所以sin 6分 又因为为锐角，所以cos 8分因为cos，且为锐角，所以sin，因此sin22sincos， 10分所以sin(2) 12分因为为锐角，所以02又cos20，所以02，又为锐角，所以2，所以2 14分16(本小题满分14分)(图1)OCBPACBMDE（1）证明：如图1，连结PE因为PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PEBC， 2分且PE，同理AE因为PA，所以PE2AE2PA2，所以PEAE4分因为PEBC，PEAE，BCAEE，AE，BC 平面ABC，所以PE 平面ABC 因为PE平面PBC，所以平面PBC平面ABC 7分（2）解
10、法一如图1，连接CD交AE于O，连接OM因为PD平面AEM，PD平面PDC，平面AEM平面PDCOM，所以PDOM， 9分所以 11分因为D，E分别为AB，BC的中点，CDAEO，所以O为DABC重心，所以，所以PMPC 14分(图2)PACBMDECBN 解法二如图2，取BE的中点N，连接PN因为D，N分别为AB，BE的中点，所以DNAE又DN平面AEM，AE平面AEM，所以DN平面AEM 又因为PD平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DNPDD，所以平面PDN平面AEM 9分又因为平面AEM平面PBCME，平面PDN平面PBCPN，所以MEPN，所以 11分因为E，N分别为BC，B
11、E的中点，所以，所以PMPC 14分17(本小题满分14分)解：（1）连结DC在ABC中，AC为2百米，ACBC，A为，所以CBA，AB4，BC2 2分因为BC为直径，所以BDC，所以BDBC cos2cos 4分（2）在BDF中，DBF，BFD，BD2cos，所以， 所以DF4cossin()， 6分且BF4cos，所以DEAF=44cos， 8分所以DEDF44cos4 cossin()=sin2cos232 sin(2)3 12分因为，所以2，所以当2，即时，DEDF有最大值5，此时E与C重合 13分答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大 14分18(本小题满分16分)解（1）离心率e，所以ca，ba， 2分所以椭圆C的方程为1因为椭圆C经过点P(，)，所以1，所以b21，所以椭圆C的方程为y21 4分（2）解法一设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，y)，则y21，则(n)2y2(n)2n2n， 6分当l经过左右顶点时，(2n)(2n)n24令n2nn24，得n4
