一元一次方程教学思考

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1、一元一次方程教学思考 一元一次方程应用问题的教学可以说贯穿了整个小学高年段和初中学段，在学生的数学学习过程中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题的教学学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5），而一元一次方程应用题的教学，又是所有方程应用题教学中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学成功否，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的教学有着至关重要的作用。但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆力较强，分析能力却相对仍然较弱，因此，要提高初一年级数学应用题教学效果，除了要逐步提高学生的数学分析能力，及时地给学生以解题方法论的指导，也是每一位数学教师必须考虑和认真探索的

2、问题。显然，列方程解应用题的关键在于由题目中隐含的等量关系列出相应的方程。笔者通过多年的教学实践，认为一元一次方程应用题的教学应从如下几方面探讨：一、列方程的方法（一）、直列法即由题中的“和”、“少”、“多”、“差”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。 例1 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？分析：显然，人员调动完成后，甲处人数2乙处人数。解法：1、设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：27+x=2(19+20-x)，解之得x1720-x20173（人）答：应调往甲处17人，

3、乙处3人。当然，以上四种方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程速度时间”。并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用总分法：解法：2、设人员分配后乙处人数为x人，甲处为2x人。分配后的总人数为27+19+2066人，据题意有：x+2x27+19+20，解之得x22，2x44，故442717（人），221939（人）答：应调往甲处17人，乙处3人。（二）、公式法利用学生熟识的公式解题，例如：路程速度时间工作总量工作效率工作时间利润售价进价利润率利润/进价各种周长公式、体积公式、周长、面积公式等，都是解答相关方程应用题的工具。 例2 商品进价1800元，原售价2250

4、元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打几折出售？分析：根据利润率公式，列出方程即可。解：设最低可打x折。据题意有：5%=（2250x-1800）/1800，解之得x0.84答：最低可打8.4折。（三）、总分法即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。 例3 、 古希腊的大数学家丢番图“墓志铭”是这样写的：“过路的人！这儿埋葬着丢番图。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，

5、丢番图活到多大，才和死神见面？”分析：本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄各部分年龄的和即可得出解答。解：设丢番图活了x年。据题意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解之得x84答：丢番图共活了84岁。 由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子活了42岁等。（四）、同一法这类题目的解题原理是：如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。例4、一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，一名通讯员按原路返回学校报信，然后

6、他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距离部队6千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？（报信时间忽略不计）分析：该题的解答关键在于，通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍走了4.5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间）。解：设学校到部队的距离是x千米。据题意得：(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14，解之得：x15.5答：学校到部队的距离是15.5千米。（五）、整体法把一项工程，一段路程，一批货物，总工作量等，整体看成“”，进行运算例、某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独修设需要18天。如果有由两个工程队从两端同时相向施工，要多少

7、天可以铺好？解:设X天可以铺好 ，把整个工程看成“”得：1/18+1/12=1 2/36+3/36=5/36=1 X= X=36/5 X=36/5 即要36/5天 当然，以上四种方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程速度时间”。并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用总分法：二、列解一元一次方程解应用题的步骤A、列：具体有：审 、设、列、解 、答五环节1、审题：读懂题目，审清题意，理清题目中的逻辑关系 ，明确哪些是已知量 哪些是未知量，以及它们之间的关系。 2、设未知量：就是设未知数，根据题意，选择适当的量，并用未知数表示出来，也叫设元，设元分直接设元和间接设元

8、 。3、列方程：根据题目中给出的量与量关系，列出符合题意的一元二次方程4、解方程 ： 求出所列方程的解5、回答题目的问题 根据解答出来的结果答复题目的要求注意事项：1） 设未知数和写答案时，单位要写清楚；2） 列方程时，方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位应该一致；3） 在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉，但也不能把同一条件重复利用，否则会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。 4） 对于求得的方程的解，还要看它的实际意义，然后才能确定应用题的解。 B、解一元一次方程一般步骤1、去分母： 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 不要漏乘不含分母的项；2、去括号：分子是一个

9、整体，去分母后应加上括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 不要漏乘括号的项，不要弄错符号；3、移项 ：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号） 移项要变号，不要丢项；4、合并同类项： 把方程化成axb（a0）的形式 字母及其指数不变系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母搞颠倒。 三、 一元一次方程的重点题型 列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点，而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题。所以，在列解过程中几种常见题型及特点、内容、类型， 题中涉及的数量及公式，

10、 等量关系， 一定要把握好。掌握好这部分知识，对于今后学习整个中学阶段的列方程（组）解应用题大有帮助。因此将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来，如下： （1）和、差、倍、分问题。 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“几倍”、“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比较量的关系，并注意每个词的细微差别。 （2）等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、周长、体积等公式。由题可知 弄清“倍数”关系及“多、少”关系等问题。 （3）分配问题： 全部数量各种成份的数量之和。 把一份数设为x。 从调

11、配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量，题中涉及的数量及公式 ，等量关系。 （4）行程问题。:切记公式： 路程速度x 时间,时间路程 速度速度路程 时间。 快行距离慢行距离原距离； 相向而行：注意出发时间、地点； 追及问题： 这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。快行距离慢行距离原距离； 同向而行：注意出发时间、地点（行程问题中还有一种“相背而行”的情况，我们把“相背而行”看作与“相向而行”在数学上同等，所以在教科书中没有提及。当两个沿着环形跑道运动时，“相向”与“相背”明显是一回事）。 相遇问题（相向而行），

12、这类问题的相等关系是：每个人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。 航行问题：相对运动的合速度关系是：顺（风）水速度静水中速度水（风）流速度；逆水（风）速度静水中速度水（风）流速度。 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。 （5）工程问题。 其基本数量关系：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 。工作总量工作效率工作时间；合做的效率各单独做的效率的和。当工作总量未给出具

13、体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 （6）溶液配制问题。 其基本数量关系是：溶液质量溶质质量溶剂质量；溶质质量溶液中所含溶质的质量分数。这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。 （7）利润率问题： 商品利润商品售价商品进价。 找出利润或利润率之间关系， 打几折就是按原售价的百分之几出售。其数量关系是：商品的利润商品售价商品的进价；商品利润率商品利润商品进价100，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。 （8）银行储蓄问题。 其数量关系是：利息本金利率存期；本息本金利息，利息税利息利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率月利率12日利率365。 （9）数字问题。 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。如：设a、b分别为一个两位数的个位上、十位上的数，则这个两位数可表示为10ba 由题知 设间接未知数。 （10）年龄问题其基本数量关系：大小两个年龄差不会变。这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等