高中数学专题讲解排列组合及二项式定理

《高中数学专题讲解排列组合及二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学专题讲解排列组合及二项式定理（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、排列组合及二项式定理【基本知识点】.二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，,，.可以当作觉得自变量的函数,定义域是,(）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(）(）增减性与最大值: 当是偶数时，中间一项获得最大值;当是奇数时，中间两项,获得最大值.（3)各二项式系数和:,令，则 【常用考点】一、可反复的排列求幂法：反复排列问题要辨别两类元素:一类可以反复,另一类不能反复,把不能反复的元素看作“客”,能反复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在此类问题使用住店解决的方略中，核心是在对的判断哪个底数，哪个是指数。（1)有4名学生报名参与数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有

2、多少种不同的报名措施？（)有4名学生参与争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的成果?(3)将封不同的信投入个不同的邮筒,则有多少种不同投法?【解析】:（1）(2） (）二 相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几种元素捆绑成一种组，当作一种大元素参与排列.(4）五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把视为一人，且固定在的右边，则本题相称于4人的全排列，种(）3位男生和3位女生共6位同窗站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A 36 . 188 C. 1 . 96 【解析】: 间接法 6位同窗站成一排，位女生中

3、有且只有两位女生相邻的排法有， 种高考资源网 其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288 三 相离问题插空法: 元素相离(即不相邻）问题，可先把无位置规定的几种元素全排列，再把规定的相离的几种元素插入上述几种元素的空位和两端.（6)七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】:除甲乙外，其他5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种（7） 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有本书的顺序,有 种不同的插法（具体数字作答)【解析】： （8)马路上有编号为1，2,9九只路灯，现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的

4、两盏,求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】:把此问题当作一种排对模型，在盏亮灯的5个空隙中插入盏不亮的灯种措施,因此满足条件的关灯方案有10种.四元素分析法（位置分析法）:某个或几种元素要排在指定位置,可先排这个或几种元素；再排其他的元素。（9）广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其他三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 （ ) 高考资源网 . 36种 B.12种 C 18种 D8种【解析】: 措施一： 从后两项工作出发，采用位置分析法。 措施二：分两类:若小张或小赵入选,

5、则有选法；若小张、小赵都入选,则有选法，共有选法36种，选A (1）1名教师和4名获奖同窗排成一排照相留念,若教师不站两端则有不同的排法有多少种?【解析】: 教师在中间三个位置上选一种有种,名同窗在其他4个位置上有种措施；因此共有种。五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段解决。高考资源网 (11) 个不同的元素排成前后两排，每排3个元素,那么不同的排法种数是（ )A、36种 B、20种 C、20种 、1440种（12)把15人提成前后三排，每排5人，不同的排法种数为(A）(B) （C）（D) (3）8个不同的元素排成前后两排，每排个元素，其中某个元素要排在前排,某1个

6、元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】 ：(1）前后两排可当作一排的两段，因此本题可当作6个不同的元素排成一排,共种，选.高考资源网 （2）答案：C（3)当作一排,某个元素在前半段四个位置中选排个,有种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一种有种,其他5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.六.定序问题缩倍法(等几率法）：在排列问题中限制某几种元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的措施.（4）五人并排站成一排,如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是( )高考资源网 【解析】 ：在的右边与在的左边排法数相似，因此题设的排法只是个元素全排列数的一半,即种（5）书架上某层有6本书,

7、新买本插进去,要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法?高考资源网 【解析】 ：法一: 法二:七标号排位问题（不配对问题) 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一种元素，如此继续下去，依次即可完毕.（6） 将数字,2,，4填入标号为,，4的四个方格里，每格填一种数，则每个方格的标号与所填数字均不相似的填法有（ ）、6种 、9种 C、11种 D、23种高考资源网 【解析】 :先把填入方格中,符合条件的有3种措施,第二步把被填入方格的相应数字填入其他三个方格，又有三种措施；第三步填余下的两个数字,只有一种填法，共有339种填法，选.(17)编号为1、3、4、的五个人分别去

8、坐编号为1、2、4、的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ) A10种 B 2种 C 0种 D6种答案:B八不同元素的分派问题(先分堆再分派)：注意平均分堆的算法(18）有6本不同的书按下列分派方式分派,问共有多少种不同的分派方式？高考资源网 （1） 提成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一种人1本，一种人2本，一种人本；（3） 提成每组都是本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人,每个人2本；（5） 分给人每人至少1本。【解析】 ：(） (2) （）（4) (5)（9)四个不同球放入编号为1，2,3，4的四个盒中,则恰有一种空盒的放法有多少种？【解析】:

9、先取四个球中二个为一组,另二组各一种球的措施有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.九.相似元素的分派问题隔板法：(0）把20个相似的球全放入编号分别为1，2,3的三个盒子中,规定每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?【解析】:向,2,3号三个盒子中分别放入0，,2个球后还余下7个球，然后再把这17个球提成3份,每份至少一球,运用隔板法，共有种。高考资源网 (21)10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一种名额,有多少种不同分派方案?【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额当作1个相似的小球提成7堆，每堆至少一种,可以在1个小球的9个空位中插入6块木板，

10、每一种插法相应着一种分派方案,故共有不同的分派方案为种.高考十.排数问题(注意数字“”)高考资源网 ()由数字0,2,3，构成没有反复数字的六位数，其中个位数字不不小于十位数字的共有( )A、种 B、00种 C、44种 、600种【解析】：按题意，个位数字只也许是0,2,3,4共5种状况,分别有个，个,合并总计3个,选.十一.染色问题:涂色问题的常用措施有：（）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2)根据相对区域与否同色分类讨论；高考资源网 (3）将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。(2)将一种四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有种颜色可供使用,那么不同的染色措

11、施的总数是_.【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种措施。(）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与，由于A、B颜色可以互换，故有种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而与C中另一种只需染与其相对顶点同色即可，故有种措施。(3)若恰用五种颜色染色,有种染色法高考资源网 综上所知，满足题意的染色措施数为60+24012420种。【答案】420.十二. 几何中的排列组合问题:

12、（4）已知直线(是非零常数)与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条【解析】: 圆上的整点有： 1 个 其中有关原点对称的有4条 不满则条件 切线有 ，其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 -+121460 答案:60【练习】1、位同窗每人从甲、乙、丙门课程中选修1门,则恰有人选修课程甲的不同选法共有(A)12种 (B）2种 ()种(D）3种【解析】分两类:取出的1本画册,本集邮册,此时赠送措施有种；取出的本画册,2本集邮册,此时赠送措施有种。总的赠送措施有种。【答案】B2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一种正五棱柱

13、对角线的条数共有( ）A.20B1512D1【解析】先从个侧面中任意选一种侧面有种选法,再从这个侧面的4个顶点中任意选一种顶点有种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，因此除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩余2个点,把这个点和剩余的两个点连线有种措施，但是在这样解决的过程中刚好每一条对角线反复了一次,因此最后还要乘以因此这个正五棱柱对角线的条数共有,因此选择.3、的展开式中的常数项是 (A） (B） （C) ()【答案】C【解析】：令，于是展开式中的常数项是故选4、已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则 【答案】解:的通项为，,的展开式中的系数是,的通项为,的展开式中的系数是 ，.5、已知(是正整数）的展开式中,的系数不不小于12,则 .【解析】按二项式定理展开的通项为，我们懂得的系数为,即，也即，而是正整数，故只能取1。6、若，则的值为 . 答案7、已知,则= 8 .8、对任意的实数,有,则的值是（ B )A. .6 9 D.9、设是的一种排列，把排在的