《福建师范大学22春《复变函数》补考试题库答案参考47》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学22春《复变函数》补考试题库答案参考47（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学22春复变函数补考试题库答案参考1. 设A，B是两个事件，且满足条件0P(A)1，P(B|A)+=1，求证：A与B相互独立设A，B是两个事件，且满足条件0P(A)1，P(B|A)+=1，求证：A与B相互独立用例1.17题1与本例2. 设f(x)在(-1，1)内连续，在x=0处可导，且f(0)=0，f&39;(0)=1，求极限设f(x)在(-1，1)内连续，在x=0处可导，且f(0)=0，f(0)=1，求极限43. 设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(
2、1,2n)，使得A=(12,22n2)正确答案：因为i是A的一个特征值设为对应于的特征向量且=(12n)则A=i从而f(12n)一TA=Ti=T=i(1222n2)因为i是A的一个特征值,设为对应于的特征向量,且=(1,2n),则A=i从而f(1,2n)一TA=Ti=T=i(12,22n2)4. 使用凑微分法的关键是什么?使用凑微分法的关键是什么?使用凑微分法的关键是正确引入变换u=(x)如果在运算中不写出u=(x)，而把(x)看做一个整体，将所求积分转化为新的积分通常，可以在基本积分公式中找到积分 最常见的凑微分类型如下： (1) (2) (3)f(sinx)cosxdx=f(sinx)ds
3、inx (4)f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx (5)exf(ex)dx=f(ex)dex (6) (7) (8) (9) (10) 5. 设有指标集I，f(x)：I是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在Rn上是可测的吗?设有指标集I，f(x)：I是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在Rn上是可测的吗?6. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的
4、概率是_2/5由抽签原理，每个人取得黄球的概率相等，均为2/5，或由全概率公式，也可算得所求概率为2/5(略)7. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10 320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)正确答案：设日产量为x吨rn由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320rn解得
5、比例系数k=004rn故C(x)=004x3+10 000x0100rn于是平均成本函数令rn解得唯一驻点x=50因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值rn故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000因为,当x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320解得比例系数k=004,故C(x)=004x3+10000,x0,100于是,平均成本函数令解得唯一驻点x=50因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本8. 在有向图D中，结点间的可达
6、关系满足什么性质?在有向图D中，结点间的可达关系满足什么性质?自反性，传递性 结点vi与vi显然连通(可达)，满足自反性；若vi可达vi，vj可达vk，则vi可达vk，满足传递性；由于有向图中的边是有方向的，vi可达cj，未必有另一条边使vj，可达vi，故不满足对称性 9. 从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。感性认识10. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有
7、内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。11. 某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)： s=t3-6t2+7t，0t4 来刻画，其中s以
8、米计，f以秒计，以起某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)：s=t3-6t2+7t，0t4来刻画，其中s以米计，f以秒计，以起始方向为位移的正方向试回答以下关于物体的运动性态的问题：(1)物体何时处于静止状态？(2)何时运动方向为正或为负，何时改变运动方向？(3)何时运动加快、变慢？(4)何时运动最快、最慢？(5)何时离起始位置最远？位移：s=t3-6t2+7t，速度： 加速度： (1)我们知道当v变为零，即 v=3t2-12t+7=0， 也即秒或秒时，物体瞬间处于静止状态 (2)由于起始速度v(0)=7米/秒，且v=v(t)为t的二次函数，故可知t内，物体运动方向为正；在内，运
9、动方向为负，于是可知秒或秒时运动方向改变 (3)当a0，即t2，4时，运动速度加快； 当a0，即t0，2时j运动速度变慢 (4)由(2)的分析知，当秒时，速度v值最小；又根据二次函数的性质，可知当t=0秒或4秒时，速度v值最大 (5)我们可以根据s(t)的导数 s(t)=v(t)=3t2-12t+7 的取值来判断s的单调性，且易知s(t)即v(t)的零点 和 即为s(t)单调性发生改变的点，且知秒时取得最大位移，t=2+秒时取得最小位移 12. ，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域积分区域D如图8.24所示，0y，0xy 13. 试证
10、明： 设，m*(E)0，0cm*(E)，则存在E的子集A，使得m*(A)=c试证明：设，m*(E)0，0cm*(E)，则存在E的子集A，使得m*(A)=c证明 记f(x)=m*(a，x)E)，axb，则f(a)=0，f(b)=m*(E).考察x与x+x，不妨设axx+xb，则由 a,x+x)E=(a,x)E)(x,x+x)E) 可知，f(x+x)f(x)+x，即 f(x+x)-f(x)x 对x0也可证得类似不等式，总之，我们有 |f(x+x)-f(x)|x|，axb 这说明fC(a，b)，根据连续函数中值定理，对于f(a)cf(b)，必存在(a，b)，使得f()=c.从而取A=a，)E，即得所
11、证 14. 用推理规则证明下式： 前提：，W(y) 结论：S(x)用推理规则证明下式：前提：，W(y)结论：S(x)证明 (1)()(M(y)W(y) P (2)M(c)W(c) ES(1) (3)(M(c)W(c) T(2)E (4)()(M(y)W(y) DG(3) (5)()(M(y)W(y) T(4)E (6)()(F(x)S(x)()(M(y)W(y) P (7)()(F(x)S(x) T(5)(6)I (8)()(F(x)s(x) T(7)I (9)(F(a)S(a) US(8) (10)qF(a)VS(a) T(9)E (11)F(a)S(a) T(10)E (12)()(F(x
12、)S(x) UG(11)上述(2)中利用ES规则所选的c，是指(1)中符合()所指定的那些个体，而不是个体域中其他无关的个体，这对后面推证的正确性很重要(7)中所推为丁，其来源为：由于(5)为T，对应(6)中蕴含式的后件就为F，而(6)本身为T，那么(6)的前件应为F，而(7)是(6)的前件取反，即为丁T 15. 证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根记f(x)=x3-3x+5，用反证法假设f(x)=0在0，1内有两个不同的实根x1，x2，那么f(x1)=f(x2)=0，又因为f(x)在0，1上连续，在(0，
13、1)内可导，所以由罗尔中值定理知，存在一点(x1，x2)(0，1)，使得f()=0 但f(x)=3(x2-1)只有两个实根x=1，因此不可能存在(x1，x2)(0，1)，使得f()=0，于是推出矛盾 16. 证明可导的偶函数的导函数为奇函数证明可导的偶函数的导函数为奇函数法一f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，且在点x可导。由导数定义： 所以偶函数的导函数为奇函数 法二利用复合函数求导法则，设f(x)为偶函数，即 f(-x)=f(x) 两边同时对x求导，得 -f(-x)=f(x)，即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数 类似可以证明可导的奇函数的导函数为偶函数 17. 某年级三个班，进行了一次数学考试，从各班随机抽取部分学生，记录其数学成绩如下表所示： 1班 2班某年级三个班，进行了一次数学考试，从各班随机抽取部分学生，记录其数学成绩如下表所示：1班2班3班73668960887778314887684
