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1、1、一个期限为1个月的无红利支付股票的欧式看跌期权现价为2.5美元，股票价格为47美元，执行价格为50美元，无风险年利率为6%。对套利者而言存在什么样的机会？答案：对于无红利支付股票的欧式看跌期权，其价值应该满足：由于： 2.5=P,故这里欧式看跌期权的价值被低估，我们可以构造如下策略获得套利：期初从银行借入$49.5，期限一个月，买入一份欧式看跌期权和一股股票。在期权到期时：如果，不执行期权，在现货市场卖出股票，获利，还清银行借款：$49.75(=)，最后净收益为：;如果,执行看跌期权，卖出股票，获利$50, 还清银行借款：$49.75，净收益为$0.25。2、一个期限为4个月的无红利支付股
2、票的欧式看涨期权现价为5美元，股票价格为64美元，执行价格为60美元，1个月后发红利0.8美元，对所有期限的无风险年利率为12%.对套利者而言存在什么样的机会？答案：对于有红利支付股票的欧式看涨期权，其价值应该满足：其中D为期权有效期内股票支付红利的现值，由于： $5=C,故这里欧式看涨期权的价值被低估，我们可以构造如下策略获得套利：期初卖空一股股票，获益$64，将所得收入的$0.79()存入银行一个月，用于补偿原股票持有人的红利收入，将$5用于购买一份欧式看涨期权，剩余收益($58.21)存入银行4个月。在期权到期时：如果，执行看涨期权，取出存款，用$60买入一股股票，还清股票，净收益为：
3、;如果,不执行期权，取出存款，在现货市场上买入一股股票，成本为,还清股票，净收益为。3.假设你是一家杠杆比例很高的公司的经理及唯一的所有者。所有的债务一年后到期。如果那时公司的价值高于债务的面值，你就可以偿还债务。如果公司的价值小于债务的面值，你就必须宣布破产，让债务人拥有公司。 a）将公司价值作为期权的标的物，描述你的头寸状况。 b）按照以公司价值为标的物的期权的形式，描述债务人的头寸状况。 c）你应当如何做来提高你头寸的价值。答案：设公司价值为(0=t=T, 0为当前时刻，T为债务到期日)，债务面值为D。a) 在债务到期时，如果公司价值大于D，则还清债务后，经理拥有价值为：,否则如果公司价
4、值小于D，则债务人拥有公司，经理将一无所有，故经理价值为0。综上，经理人的价值可以表示如下：即max(,0)，即可以看做拥有欧式看涨期权的多头。b) 在债务到期时，如果公司价值大于D，则债务人可以得到D，否则如果公司价值小于D，则债务人拥有公司，价值为。综上，债务人的价值可以表示如下：即,也可以表示成：即公司价值多头与以公司价值为标的的看涨期权空头。可以理解为，债务人在初始时刻以借出的金额购买了公司，同时卖出一个看涨期权给经理人，如果经理人经营得好，使公司价值高于债务价值，支付债务（执行价）后，经理人就可以拿回公司。也可以理解为抵押债务,经理人以公司价值作为抵押物,到期资不抵债时债务人将拿走抵
5、押物.c）因此，经理人应该努力提高公司价值，以提高自己的收益。4、 对一个欧式看涨期权，若有L在到期日T时满足，则有对一个欧式看跌期权，若有U在到期日T时满足，则有答案：分析：这里有两种解决方案，一种是构造两个策略，直接证明不等关系，类似期权上下限的证明；另外一种方法是反证法，如果这种关系不成立，看是否存在套利机会，如果存在套利，说明在不存在套利机会的情况下，不等式成立。为了给大家介绍这两种方法，第一个等式我们采取第一种方方法，第二个等式采取第二种方法。证明：不等式一、（可等价为：）组合A： 一份欧式看涨期权多头的现金组合B：一单位标的资产则在到期日：组合A的价值为：由于，且故因此而故因此，由
6、无套利定价原理，即不等式二、假设不等式不成立，即,等价地，这时是看跌期权价值高估，我们卖出看跌期权应该有套利机会，因此构造套利策略如下：卖出一份看跌期权，卖空一单位股票，将所得收入()存入银行。在期权到期时：如果,期权多头不会执行期权，因此我们需要从市场上以的价格买入股票，还给持有人，成本为，同时存款的现金收益为,故净收益为；如果,期权多头会执行期权，因此我们以X买入股票，还给持有人，成本为X，同时存款的现金收益为,故净收益为；因此，此时存在套利机会。故在不存在套利机会的情况下，原不等式必须成立。5. 证明：两种除执行价格外，其他条件相同的欧式看涨期权（或欧式看跌期权）的价格差的绝对值不会超过它们执行价格的差异现值的绝对值。答案：证明方法与第四题类似，为去掉绝对值，不妨设,则根据看涨期权价值与执行价格间的关系，,此时需要证明的关系为：等价于：因此我们只需做出下面的两个组合：组合A：一份执行价为的欧式看涨期权多头的现金组合B：一份执行价为的欧式看涨期权多头的现金只要能证明即可，其中分别表示组合A、组合B在t时刻的价值，t0表示当前，tT表示期权到期日。首先看在到期日：组合A的价值为：组合B的价值为：由于,故，即（当时，当时，）。故由无套利原理，。即：。当时，类似可得。6. 证明有收益资产的美式期权的平价关系：S-D-X = C-P = S-Xe-rT证明：
