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1、第11课函数与方程最新考纲内容要求ABC函数与方程V抓基础自主学习I知识检理1. 函数的零点(1) 函数零点的定义对于函数y= f(x)(x D),把使函数y=f(x)的值为0的实数x叫作函数y=f(x)(x D)的零 占八、(2) 几个等价关系方程f(x) = 0有实数根？函数y= f(x)的图象与x轴有交点?函数y = f(x)有零点.(3) 函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y= f(x)在区间a, b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)0,那么，函数 y= f(x)在区间(a, b)上有零点，即存在c (a, b)，使得f(c) = 0，这个c也就是方程f(x) =
2、0的 根.2. 二分法对于在区间a, b上连续不断且f(a) f(b)0)的图象与零点的关系= b2 4ac 0= 0v 0二次函数y= ax2 + bx+ c(a 0)的图象4与x轴的交点10)无交点零点个数210学1自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“/”，错误的打“X”)(1) 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()函数y= f(x),x D在区间(a,b)? D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a) f(b)v0.()(3)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a) f(b)v0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.()二次函数y = ax2 + bx+
3、c在b2 4acv 0时没有零点.()答案 X (2) X (3) XV2. (教材改编)函数f(x) = ex+ 3x的零点个数是.1i f(1)=e 3v0, f(0)= 10, f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，.函数f(x)有且只有一个零点.3. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 .(填序号) y= cos x； y= sin x； y= In x； y= x2 + 1.由于y= sin x是奇函数；y= ln x是非奇非偶函数，y = x2 + 1是偶函数但没有零点， 只有y= cos x是偶函数又有零点.4. 函数f(x) = 3x x2的零点所在区间是 .(填
4、序号) (0,1);(1,2)；(2, 1)；(1,0).f(2)35 f(1)3，f(0)= 1, f(1)= 2, f(2)= 5, f(0)f(1)0, f(1)f(2) 0,f( 2)f( 1)0, f( 1)f(0)v0.5函数f(x)= ax+ 1 2a在区间(1,1)上存在一个零点，贝U实数a的取值范围是.f( 1)f(1) v 0，3，1函数f（x）的图象为直线，由题意可得1 （ 一 3a + 1） （ a） v 0，解得 3 v a v 1,实数a的取值范围是3, 1 .明考向题型突破I观律方函数零点所在区间的判断卜例函数f(x) = x* 2 3x 18在区间1,8上(填“
5、存在”或“不存在”)零点.又 f(1) = In 1 1 = In 1 2 0,已知函数f(x)= In x x2的零点为xo,贝U xo所在的区间是(k, k+ 1)(k Z)，则k=f(2)= In 2 t f(x) = In x 1 x2在(0,+x)上是增函数, 0， xo (2,3), 即卩 k= 2.规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法1 定义法：使用零点存在性定理，函数y=f(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a) f(b)0,的零点个数为禺+ 1, x0时，作函数y= In x和y=x2 2x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点;1当 x 1，的根，
6、则满足f 6 V 2,f 10 2,a 1，如图，即 loga6v 2，解得 6vav 10.loga10 2，故a的取值范围是(.6,10).规律方法已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数 形结合求解.2变式训练3(1)函数f(x) = 2x-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是入思想与方法1. 转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两
7、个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问 题可转化为函数值域问题.2判断函数零点个数的常用方法(1) 通过解方程来判断.(2) 根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3) 将函数y=f(x) g(x)的零点个数转化为函数 y= f(x)与y= g(x)图象公共点的个数来判 断.3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.易错与防范1. 函数的零点不是点，是方程f(x)二0的实根.2. 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不 变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点 的充分不必要条件
8、.课时分层训练(十一)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1 .若函数f(x)= ax+ b有一个零点是2,那么函数g(x) = bx2 ax的零点是.10,-由题意知 2a + b = 0, 即卩 b= 2a.令 g(x) = bx ax= 0,1 2-a- b2. (2017镇江期中)方程lg x sinx= 0的解的个数是 .3 tig x sin x = 0,；lg x= sin x,分别作出函数 y= lg x与函数y = sin x的图象可知, 两个函数有3个交点.示,2 1, xW 1,3. 已知函数f(x)=，贝U函数f(x)的零点为.J + log2X, x1,11
9、由 f(x) = 0 得，2x 1二0 或 log2x+ 1 = 0,解得 x= 0 或 x=2(舍去).4. 已知函数f(x) = x2 + x+ a(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为.【导学号：62172061】(2,0)由 x2 + x+ a= 0 得 a= x2 x.2 ( 1 1 又 y= x x= x+2 + 4x (0,1)，二 y ( 2,0).即 a ( 2,0).5. 已知关于x的方程x2 + mx 6 = 0的一个根比2大，另一个根比2 小,贝U实数m的取 值范围是.(X, 1)设函数 f(x) = x2 + mx 6,则根据条件有 f(2)v0,即 4
10、+ 2m 6V0,解得 mv 1.6. 若函数f(x)=|2x2| b有两个零点，则实数b的取值范围是.(0,2)由 f(x) = |2x 2|- b= 0 得|2x 2|= b.在同一平面直角坐标系中画出y=怦2与 y= b的则当0b 2,7. 已知函数f(x) = x若关于x的方程f(x)= kx有两个不同的实根，则(X 1 3，0x2，实数k的取值范围是.【导学号：62172062】0k2函数y= (x 1)3在R上单调递增；函数 尸？在2，+*)上单调递减，2x又因为x= 2时，(x 1)3 = 1且2= 1,所以f(x)的最大值为1,对应点为(2,1)，1 o 11又y= kx过原点(0,0)，所以k= 20 = 2可见0k2
