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1、4.1_比例线段_第3课时 比例中项1已知三条线段a，b，c中，有c2ab，则称c是a，b的比例中项，若a2，b8，则a，b的比例中项c的值为(A)A4 B4 C16 D16【解析】 c228，c14，c24(不合题意，舍去)故选A.2若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是(D)Ax2ab B.C. Dab 3如果ab128，且b是a和c的比例中项，那么bc等于(B)A43 B32C23 D34【解析】 ab128，b是a和c的比例中项，即abbc，bc12832.故选B.4如图417，已知点C是线段AB的黄金分割点(ACBC)，下列结论中正确的是 (C)图417AAB2AC2BC2BBC
2、2ACBAC. D.5已知线段AB2 cm，C是线段AB的黄金分割点(ACBC)，则AC的长为(C)A(2)cm B(3)cmC(1)cm D(2)cm【解析】 C是线段AB的黄金分割点(ACBC)，ACAB，AB2 cm，AC2(1) cm.故选C.6如图418，扇子的圆心角为x，余下扇形的圆心角为y，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若黄金比取0.618，则x为(B)图418A222 B138C139 D108【解析】 由题意，得0.618，y360x，x0.618(360x)，解得x138.故选B.72016奉贤区一模线段AB长10 cm，点P在线段AB上，且满足，那么
3、AP的长为_55_cm.【解析】 设APx cm，则BP(10x)cm，x155，x255(不合题意，舍去)，AP的长为(55) cm.8如图419是一种贝壳的示意图，点C分线段AB近似于黄金分割比已知AB12 cm，则AC的长约为_7.4_cm(结果精确到0.1 cm)图419【解析】 由图可知ACBC，AC120.618127.4(cm)92017台州模拟如图4110，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为.若AB，则MN_2_图4110【解析】 在DAB中，ADB36，
4、ADBD，即DAB是“黄金三角形”，BDEC1，又ENMCAB，MNEN(ECMC)2.10(1)已知a4，c9，若b是a，c的比例中项，求b的值；(2)已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB4 cm，CD5 cm，求MN的长，并思考两题有何区别解：(1)b是a，c的比例中项，abbc，b2ac，b.又a4，c9，b6；(2)线段MN是AB，CD的比例中项，ABMNMNCD，MN2ABCD，MN.又AB4 cm，CD5 cm，MN2.又MN不可能为负值，MN2 cm.通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而MN不可以取负值112017江干区一模(1)我们知道
5、，将一条线段AB分割成大小两条线段AP，PB，使APPB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为_(填一个实数)； (2)如图4111，RtABC中，B90，AB2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E.求证：点E是线段AB的黄金分割点图4111解：(1)设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，APx，则BP1x，根据题意得，解得x1，x2(舍去)，故；(2)证明：设BCa，则AB2a，则ACa，由题意得CDBCa，AEADaa，BEABAE3aa，即点E是线段AB的黄金分割点12一般认为，如
6、果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看如图4112是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她穿多高的鞋子比较好看？(结果精确到1 cm，参考数据：黄金分割比为，2.236)图4112解：设应该穿x cm高的鞋子由题意，得，解得x10.答：她穿10 cm高的鞋子比较好看13如图4113，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD到点E，使MEMC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(D)图4113A.1 B. 3C.1 D.1142016山西宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和
7、匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图4114所示，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GHAD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(D)图4114A矩形ABFE B矩形EFCDC矩形EFGH D矩形DCGH【解析】 设正方形的边长为2，则CD2，CF1，在RtDCF中，DF，FG，CG1，矩形DCGH是黄金矩形故选D.15如图4115，在ABC中，ABAC4，BC2(1)，A36，BD平分ABC，交AC于点D，试证明D是线段AC的黄金分割点图4115证明：ABAC，A36，CABC72.BD
8、平分ABC，DBCABD36，CDB180723672C，AABD36，BCBDAD2(1)，D是线段AC的黄金分割点16如图4116，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B，因而EBEB.类似地，在线段AB上折出点B，使ABAB，这时B就是线段AB的黄金分割点请你证明这个结论图4116证明：设正方形ABCD的边长为2.E为BC的中点，BE1，AE.又BEBE1，ABAEBE1.又ABAB1，ABAB(1)2，B是线段AB的黄金分割点17若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们把这样的矩
9、形叫做黄金矩形(1)操作：请你在图4117所示的黄金矩形ABCD(ABAD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD；(2)探究：在(1)中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由；(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要说明原因) 图4117 第17题答图解：(1)在AB和DC上分别截取AEDFAD，连结EF，如答图所示，则四边形AEFD就是所求作的正方形；(2)四边形EBCF是黄金矩形理由：四边形AEFD是正方形，AEF90，BEF90，四边形EBCF是矩形设CDa，ADb，则，11，矩形EBCF是黄金矩形；(3)在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个矩形是黄金矩形
