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1、2.微积分根本定理探学习目标1 理解掌握微积分根本定理；2 能根据微积分根本定理解较为简单的积分题目 探学习过程一、课前准备复习1：积分的概念复习2：求函数积分的根本方法、步骤尼兹公式求出这个函数的积分,这是求定积分的一 种非常重要的方法积分问题的关键就是找到导函数的一个原函数 课本例二1 求定积分、.xdx0课本例三求定积分 cos xdx,并解释其意义二、研读课本微积分根本定理： 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F / (x),那么有bf (x)dx=F(b) F(a)a定理中的式子成为牛顿-莱布尼兹公式,通常称 F(x)是f(x)的一个原函数.在计算定积分时,常常
2、用记号F(x) b来表示F(b) F(a),于是牛顿一莱布尼兹公式也可以写作：bbf (x)dx = F(x) a=F(b) F(a)常用关于积分的结论：1、速度的积分等于路程；2、加速度的积分等于速度；3、力的积分等于功；4、曲线的积分等于面积(这里要注意面积并非 完全意义上的面积-x轴上的面积为正,x轴下 的面积为负)；5、面积的积分等于体积课本例一、计算以下定积分：11 2(1)2xdx(2)x dx00-2(3)2cosxdx(4)“exdxv 1三典型例题例3、求以下函数的导函数,并利用所求结果求12xdx222(1) x( 2) x +5( 3) x (4) x2 a (其中a是一
3、个常数)解：( x2 ) /=2x；(x +5)=2x ；(x )=2x ；(x a)=2x 12xdx = x 2 0 = ( 1 2 ) ( 02 ) =10 0 2 1 2 20 2 xdx = (x +5)0=(1+5) (0 +5)=11 2 1 2 2o 2 xdx = (x ) 0=(1) (0 )=11o 2 xdx = (x a ) 0=(1 a) (0 a)=1小结：由上可知,题中4个不同函数得到函数都是12x,而计算定积分 02xdx时,选择不同的原函数, 结果却都一样观察不难发现,这些原函数之间只 是差了一个常数,而常数的导数为零,故导函数相 同；积分时“的前后算式中都
4、有这个常数,故 常数并不影响定积分的结果故,为了计算简便一般在选择原函数计算定积分时,选择常数是 0的原函数新知总结微积分根本定理建立了积分与导数间的密切联系.它使求定积分的问题变得简捷,在求定积分时只需找到导函数的一个原函数, 就可以利用牛顿-莱布例4、将一根弹性系数为0.5N/m的弹簧自80cm压缩至60cm 求这一过程中弹簧弹力所做的功解：由胡克定理知F=kx=0.5x,而功 W=Fx,由积分的意义可知克服弹力所做的功就是变力对弹簧改变长度 x 的积分,80cm=0.8m , 60cm=0.6m 0.6W= 0.5xdx0.8而易知(0.25x2)/=0.5x0.820 6故 W6 0.
5、5xdx=(0.25x ) 0.6=0.25X 0.6 2 0.25X 0.82=0.07A. 2b 、2aC. 2a 、2b2. 1小结：定积分在物理中的其中一个应用就是计算变 力F做功,这里只要能够得到变力 F的大小就可以 计算.1A. B.2B. 2( . b 、a )D.2 (b a)C. 2l n2D. 2ln2这里从定积分的定义出发更为形象的理解/连加求和符号“刀,分割细度“ x 13. sin xdx =1A.2cos1B.0 C. 2cos1 D. 2 sin1n就是“ dx ,即 f (i 1bi ) Xi = a f (x)dx .4 . F(x)=sinxcosx , f
6、(x)=F (x),那么 定积分四动手试试练1.求以下定积分1 x013(1) e dx(2)cos xdx (3) x dx0 _ 020 f(x)dx=.5. (1)求 sinx , sinx+2 , sinx+c (其中 c 为任意 常数)的导数；(2)求定积分 2 cosxdx.2练2.计算以下定积分:(1) ；(X3 1)dx4 11(2) -dx (3) 042 dx3 x0 cos x6. 一辆汽车在一段时间内,行使过程中的速度v单位：m/s是时间t 单位：s的函数vt=2 . t +t+2,t 0.求汽车在 5 10s这段时间内 走过的路程.探总结提升学习小结1.求定积分时只需找到导函数的一个原函数, 以利用牛顿-莱布尼兹公式求出这个函数的积分, 是求定积分的一种非常重要的方法.7 .求定积分2 f(x)dx ,2就可f(x)=si nxx 0这xx 0其中2.由于常数的导数为零, 应选择原函数计算定积分 时,为了简化运算一般不要带常数.探课后练习：&求出以下定积分2 2 0 2(1) 1(X 1) dx (2) X 1) dx 你能得出什么结果？把以上定积分用图像表示出 来,解释你的结果29.假设0(3x m)dx=4,求常数 m的值.3
