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1、第一章1-10已 知 一 点 的 应 力 状 态ij2051510 MPa ， 试 求 该 应 力 空 间 中0010x2 y2z1的斜截面上的正应力n 和切应力n 为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：lA， mB， nCB 2C 2B 2C 2B2C 2A 2A 2A 2因此：l121221，m12- 2222；n122222(-2)23(-2) 23(-2)23xxl xymxzn=20012100S 35033Sy xy l y m zy n = 5012350315033Sz xz l yz m z n=1002200331-11 已知OXYZ 坐标系中，物
2、体内某点的坐标为（4 ， 3 ， -12 ），其应力张量为：ij1004050，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。203010解： J1xyz =100+50-10=140J2222y zx zx yyzxzxy=100 50+50 （ -10 ） +100（ -10 ）222-40 -(-20) -30=600J33 = x y z2 xy yz xz2221 2x yzy xzz xy =-192000 1 =122.2, 2=31.7, 3=49.5 m=140/3=46.7 8= m =46.71-12设物体内的应力场为x6xy 2c1 x3 ， y3c2 xy 2 ，xyc2
3、 y3c3 x2 y ，2zyzzx0 ，试求系数 c1， c2， c3。解：由应力平衡方程的：即：6 3c2 y23c1 - c3 x 20（ 1）2c3 3c2 0（2）有（ 1）可知：因为 x 与 y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，因此， -6-3c2=0（3）3c -c =0（ 4）13联立（ 2）、（ 3）和（ 4）式得：即： c1=1 ，c2 =2， c3=35050801-13 已知受力物体内一点应力张量为：ij50075 MPa , 求外法线方向余807530弦为 l=m=1 ， n=1 的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。22解： Sx xl xy
4、m xz n= 50150180150402222Sy xy l y m zy n = 50112537.527522S xzlyzmzn= 8017513012.5152z222S=111.7J1=20J2=16025J3=-806250 3-20 2-16025 +806250=0 方程具有三个不相等的实根！ 1=-138.2, 2=99.6, 3=58.61-14在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为a)ij100-100100MPa；b)ij-1001005005000MPa；c)ij0010- 10- 5-10- 520- 1006MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应
5、力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。解： a）点的应力单元体如下图2）a)ij100- 100100-10010MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa ，J 2=200 MPa ，J 3=0 MPa ，主应力和主方向：2; m=0； n=21 =20 MPa ， l=;22 2 =-10 MPa ， l=m= n=03 =0 MPa， l=2 ; m=0； n=2 ;22主剪应力12=15 MPa； 23=5 MPa ； 12=10 MPa最大剪应力max=15 MPa八面体应力 8=3.3 MPa ； 8=12.47 MPa 。等效
6、应力26.45MPa应力偏张量及球张量。200- 101000334010ij00 MPa； ij00MPa；332010- 1000033b) 点的应力单元体如下图ij05005000MPa 该点的应力不变量：J1=10 MPa ， J 2=2500 MPa ，J 3=500 MPa ，0010主应力和主方向： 1 =10 MPa ， l=m= n=02=50 MPa ， l= m=2 ;n=0；23=-50 MPa ， l= m=2 ;n=0。2主剪应力12=20 MPa； 23=50 MPa ； 12=30 MPa最大剪应力max=30 MPa八面体应力 8=3.3 MPa ； 8=41
7、.1 MPa 。等效应力87.2 MPa应力偏张量及球张量。ij105001000331010500MPa； ij00MPa；332010000033c) 点的应力单元体如下图ij-10-5-10-520-1006MPa 该点的应力不变量：J1=-18 MPa ， J 2=33 MPa ，J 3=230 MPa ，主应力和主方向： 1 =10 MPa ， l=m= n=02=50 MPa ， l= m=2 ;n=0；23=-50 MPa ， l= m=2 ;n=0。2主剪应力 12 = 20 MPa； 23=50 MPa； 12= 30 MPa 最大剪应力 max=30 MPa八面体应力8=-
8、6MPa ； 8=9.7 MPa 。等效应力=20.6MPa应力偏张量及球张量。ij-16- 5-10- 580；ij-100126000 6 00 061-19平板在 x 方向均匀拉伸（图1-23 ），在板上每一点x =常数，试问y 为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。图 1-23 （题 19）解：等效应力：令 y(xy ) 2(y ) 2(x )2 ，要使等效应力最小，必须使 y 值最小，两边微分得：等效应力最小值：1-20在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x 轴交成角的一个平面上，其正应力为（ 0），切应力为，且为最大切应力 K，如图 1-24 所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在 y 方向上的正应力 y 及切应力 xy，且将 y yz 及 x、 xy 所在平面标注在应力莫尔圆上。图 1-24 （题 20）解：由题意得知塑性区一点在与x 轴交成角的一个平面上的切应力为为最大切应力K，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25 所示。图 1-25第二章2-9设xa(x 22y 2 ); ybx2 ; xyaxy ，其中 a、 b 为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？解：对xa(x 22y 2 ) 求 y 的 2 次偏导，即：24a（ 1）x
