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1、 .wd.专题5导数的应用含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题是近年来高考考察的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法：讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论二、典例讲解典例1讨论的单调性，求其单调区间解：的定义域为(它与同号)I当时，恒成立，此时在和都是单调增函数，即的增区间是和;II) 当时 此时在和都是单调增函数，在和都是单调减函数，即的增区间为和;的减区间为和.步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数化为乘除分
2、解式，便于讨论正负， 3、先讨论只有一种单调区间的导函数同号的情况，4、再讨论有增有减的情况导函数有正有负，以其零点分界，5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并变式练习1讨论的单调性，求其单调区间 解：的定义域为 (它与同号)I当时，恒成立，此时在为单调增函数，即的增区间为，不存在减区间;II) 当时 ; 此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为典例2讨论的单调性解：的定义域为 (它与同号)I） 当时，恒成立 此时没有意义 此时在为单调增函数，即的增区间为II） 当时，恒成立，此时不在定义域内，没有意义此时在为单调增函数，即的增区间为III) 当时, 令于是，当x
3、变化时，的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)x0增减所以， 此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性即先求出的零点，再其分区间然后定在相应区间内的符号一般先讨论无解情况，再讨论解过程产生增根的情况即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的，即根据零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间最好结合导函数的图象确定相应单调性变式练习2讨论的单调性 解：的定义域为 , 它与同号. 令，当时，无解；当时,(另一根不在定义域内舍
4、去)i)当时，恒成立 此时没有意义 此时在为单调增函数，即的增区间为ii)当时，恒成立，(此时 方程判别式,方程无解)此时在为单调增函数，即的增区间为iii) 当时,当x变化时，的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号) x0增减所以，此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果对于二次型函数如讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论典例3求的单调区间解：的定义域为R， I) 当时，在R上单调递减，减区间为R，无增区间II) 当时，是开口向上的二次函数， 令, 因此可知结合的图象i) 当时， 所以此时，的
5、增区间为；的减区间为ii) 当时， 所以此时，的增区间为；的减区间为小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论即分讨论其相应不等式的解区间，常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小分大、小、等三种情况。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，假设能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负变式练习3求的单调区间解：的定义域为R，是开口向上的二次函数，I) 当时，恒成立所以此时在R上单调递增，增区间为R，无减区间II) 当时 令 因此可知结合的图象与随x变化情况如下表x00增减增 所以此时，的增区间为；的减区间为小结：三次函数的导函
6、数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进展讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号代替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为0不影响单调性只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况总结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型一次与二次的根个数显然不同)；第二有没有根二次的看判别式，第三是有根是否为增根在不在定义根内；第四有根确实定谁大；第五看区间内导函数的正负号
7、二次函数要看开口确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，不少讨论点会同时确定即知一个就同时确定另一个判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内每个连续的区间为单调函数较简单导数的应用含参函数的单调性讨论班级姓名1.函数，求的单调区间.解：2.函数f(x)=xax+(a1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间.解：的定义域为.(1)(2)假设即时，0, 故在单调递增.假设0,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.假设,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.综上所述，当，单
8、调增区为,减区间是;当时，的减区间是，增区间是；当时，在定义域上递增，单调增区为不存在减区间; 当时，的减区间是，在增区间是.3.函数,讨论函数的单调性.解： 因为， 所以 (1) 当时，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减；(2) 当时，的图像开口向上，I) 当时，所以函数在R上递增；II) 当时，方程的两个根分别为 且 所以函数在，上单调递增， 在上单调递减；(3) 当时，的图像开口向下，且 方程的两个根分别为且 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增。综上所述，当时，所以函数在上单调递增， 在，上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当，所以函数在，上单调递增， 在上
9、单调递减；当，函数在R上递增；4.函数.讨论的单调性.解：因为的定义域为所以 ，令 ，则同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论： 当时，由于1，开口向下,结合其图象易知，,此时，函数 单调递减；时，此时，函数单调递增.当时，开口向上,但是否在定义域需要讨论：因所以i) 当时，由于1，开口向上,结合其图象易知，此时，函数单调递增.时，,此时，函数 单调递减； ii)当时，g(x)开口向上且，但两根大小需要讨论： a) 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； b) 当，g(x)开口向上且在0，有两根时，此时，函数单调递减；时，此时，函数 单调递增；时，
10、此时，函数单调递减； c) 当时，g(x)开口向上且在0，有两根时，此时，函数单调递减；时，此时，函数 单调递增；时，此时，函数单调递减；小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。法二：i)当时，由于1，开口向下,结合其图象易知，,此时，函数 单调递减；时，此时，函数单调递增. ii)当时，由于0)令,则与同号 1当时，在定义域上为增函数 (2) 当时, 当时，
11、g(x)开口向上，图象在x轴上方，所以所以，则在上单调递增 当,此时令，解得由于，因此可进一步分类讨论如下：i) 当时， ; 则在上单调递增，在上单调递减 ii)当时，或; 则在，上单调递增，在上单调递减综上所述，f(x)的单调区间根据参数讨论情况如下表：增减增增增增 其中)6.函数()=(1+)-+(0)，求()的单调区间.解：，.（1） 当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.2当.3当即时，故的单调递增区间是.4当即时， 由得，；由得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.5当即时，由得，；由得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.综上知: 当时，得单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.
