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1、-实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一:列方程组解应用题的根本思想列方程组解应用题是把“未知转化为“的重要方法,它的关键是把量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.知识点二:列方程组解应用题中常用的根本等量关系1.行程问题:(1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比拟直观,画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开场时两者相距的路程;(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是
2、相向而行。这类问题也比拟直观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题:船在静水中的速度水速船的顺水速度; 船在静水中的速度水速船的逆水速度; 顺水速度逆水速度2水速。注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题:工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题:(1)利润售价本钱(进价);(2);(3)利润本钱进价利润率;(4) 标价本钱(进价)(1利润率);(5)实际售价标价打折率;注意:“商品利润售价本钱中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售
3、。例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十4储蓄问题:(1)根本概念 本金:顾客存入银行的钱叫做本金。 利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和:本金与利息的和叫做本息和。 期数:存入银行的时间叫做期数。 利率:每个期数的利息与本金的比叫做利率。 利息税:利息的税款叫做利息税。 (2)根本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息 (1利息税率) 年利率月利率12 。注意:免税利息=利息 5配套问题:解这类问题的根本等量关系是:总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例。6增长率问题:解这
4、类问题的根本等量关系式是:原量(1增长率)增长后的量;原量(1减少率)减少后的量.7和差倍分问题:解这类问题的根本等量关系是:较大量较小量多余量,总量倍数倍量.8数字问题:解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的根本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字9浓度问题:溶液质量浓度=溶质质量.10几何问题:解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的12优化方案问题:在解
5、决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最正确方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最正确方案。注意:方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案。知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤:1审题:弄清题意及题目中的数量关系;2设未知数:可直接设元,也可间接设元;3找出题目中的等量关系;4列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;5解所列的方程组,并检验解的正确性;6写出答案.要点诠释:(1)解实际应用问题必须写“答,而且在写答案前
6、要根据应用题的实际意义,检查求得 的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;(2)“设、“答两步,都要写清单位名称;(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中根本量之间的关系; 审题时,注意从文字,图表中获得有关信息; 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,不要带单位;正确书写速度单位,防止与路程单位混淆; 在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件; 列方程组解应用题一定要注意检验。 分类练习:类型一:列二元一次方程组解决行程问题1甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉
7、机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米.【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,则他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,则他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米. 【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。类型二:列二元一次方程组解决工程问题2一家商店要进展装修,假设请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3
8、520元;假设先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元.(2)甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少. 【变式】小明家准备装修一套新住房,假设甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;假设甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.假设只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司.请你说明理由. 类型三:列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
9、价风格整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元. 【变式1】2021大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩. 【变式2】*商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:AB进价元/件12001000售价元/件13801200注:获利 = 售价 进价求该商场购进A、B两种商品各多少件;类型四:列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2
10、000元钱,一种是年利率为2.25的教育储蓄,另一种是年利率为2.25的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱.利息所得税利息金额20%,教育储蓄没有利息所得税【变式1】明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几.注:公民应缴利息所得税=利息金额20% 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都一样,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存
11、整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元.类型五:列二元一次方程组解决生产中的配套问题5*服装厂生产一批*种款式的秋装,每2米的*种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现方案用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套.【变式1】现有190铁皮做盒子,每铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少铁皮制盒身,多少铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子. 【变式2】*工厂有工人60人,生产*种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生
12、产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。 【变式3】一方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300条。现有5立方米的木料,则用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌.能配多少方桌.类型六:列二元一次方程组解决增长率问题6. *工厂去年的利润总产值总支出为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元.【变式1】假设条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元.【变式2】*城市现有人口42万
13、,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。类型七:列二元一次方程组解决和差倍分问题7.2021年丰台区中考一摸试题“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂原方案每周生产帐篷共9千顶,现*地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周赶制出这批帐篷为此,全体职工加班加点,“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂一周制作的帐篷数分别到达了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周,“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂各生产帐篷多少千顶.【变式1】 (2021年门头沟区中考一模试题) “地球一小时是世界自然基金会在2007年提出的一项建议号召个人、社区
14、、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分21时30分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活中国地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动 【变式2】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗. 类型八:列二元一次方程组解决数字问题8. 两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数。【变式1】一个两位数,减去它的各位数字之和的3倍,结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和,商是5,余数是1,这个两位数是多少.【变式2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,则得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数.【变式3】*三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各