第9炼 零点存在的判定与证明

第 9 炼 零点存在的判定与证明一、基础知识：1、 函数的零点：一般的，对于函数y = f (x)，我们把方程f (x)=0的实数根x叫作函数0y = f (x)的零点2、 零点存在性定理：如果函数y = f (x)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a)・f (b)< 0，那么函数y = f (x)在区间(a,b)内必有零点，即3x e(a,b)，使0得 f(x )=00注：零点存在性定理使用的前提是f (x)在区间［a,b］连续，如果f (x)是分段的，那么零 点不一定存在3、 函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、 几个“不一定”与“一定”(假设f (x)在区间(a,b)连续)(1) 若f (a)• f (b)< 0，则f (x) “ — 定”存在零点，但“不一定”只有一个零点要分析f (x) 的性质与图像，如果f (x)单调，则“ 一定”只有一个零点(2) 若f (a)• f (b)> 0，则 f (x)“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点如果f (x) 单调，那么“一定”没有零点(3) 如果f (x)在区间(a,b)中存在零点，则f (a)• f (b)的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。

如果f (x)单调，则f (a)• f (b)一定小于05、 零点与单调性配合可确定函数的符号：f (x)是一个在(a,b)单增连续函数，x = x是0f(x) 的零点，且x e(a,b)，则 x e(a,x )时，f (x)< 0 ； x e(x ,b)时，f (x)> 00 0 06、 判断函数单调性的方法：(1) 可直接判断的几个结论：① 若f (x),g(x)为增(减)函数，则f (x)+ g(x)也为增(减)函数② 若f (x)为增函数，则一f (x)为减函数；同样，若f (x)为减函数，则一f (x)为增函数③若f (x), g (x)为增函数，且f (x), g (x)> 0，则f (x)・g (x)为增函数(2) 复合函数单调性：判断y = f (g (x))的单调性可分别判断t = g (x)与y = f (t)的单 调性(注意要利用x的范围求出t的范围)，若t = g (x)， y = f (t)均为增函数或均为减函 数，则y = f (g (x))单调递增；若t = g(x), y = f (t)一增一减，则y = f (g (x))单调 递减(此规律可简记为“同增异减”)(3) 利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：(1) 将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数(2) 判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数f (x)(3) 分析函数f (x)的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间(4) 利用零点存在性定理证明零点存在(1「1(1 ]=e- 2 + 2 ・「2丿「2丿解： f-3 =丄-4 < 0ef (0 )=-2 < 0_ 1 1_=■< e + 2 - — 3 = — 2 < 02f (1) = e + 2 - 3 = e -1 > 0 f f-1 f (l)< 012丿.x0 4A 丿，使得 f (x0 ) = 0答案：C例2：函数f (x) = In(x-1)+ x的零点所在的大致区间是( )(.3 \(3 一\A.1 丿B.f 了丿C. (2,e)D. (e, +8)例1：函数f (x)= ex + 2x-3的零点所在的一个区间是( )/ 1 一\r 1 \/1 \(3 \A.-_,0B.0,—C.—,1D.1,—1 2丿1 2丿12丿1 2丿思路：函数f (x)为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可思路：先能判断出f (x )为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。

x T 1时，In (x - 1)T—8 , 从而 f (x ) n —g ,(3 ]13(3)=ln — + — > 0，所以 x e< 2丿2 2 0l 2丿使得 f(xo)= 0答案：A小炼有话说：(1)本题在处理xT1时，是利用对数的性质得到其In(x-1)的一个趋势, 从而确定符号那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向2)本题在估计出x T1时，In(x — 1)T —g后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如f (1.1)= 1.1 + ln£ < 0正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子例 3：(2010，浙江)已知 x 0 是函数 f(x) = 2x + 1 的一个零点，若1—xx e(1, x ), x e(x , +g)，则(1 0 2 0A. f (x )< 0,f (x )<012C. f (x )> 0,f (x )<012B.D.f (x )< 0,f (x )>012f (x )> 0,f (x )>012思路：条件给出了 f (x)的零点，且可以分析出f (x)在(1,+g)为连续的增函数，所以结合函数性质可得f (x )< f (x )= 0,f (x )> f (x ) = 01 0 2 0答案：B 例 4：已知函数 f (x) = log x + x — b(a > 0,a 丰 1)，当 2 < a < 3 < b < 4 时，函数 f (x )的a零点 x e(n,n +1),n e N*，则 n =0思路：由a的范围和f (x)解析式可判断出f (x)为增函数，所以％是唯一的零点。

考虑 f(3)= log 3 + 3 — b > log 3 + 3 — 4 = log 3 — 1 > 0aaaf(2)= log 2 + 2 — b < log 2 + 2 — 3 = log 2 — 1 < 0，所以x e(2,3) ，从而 n = 2 a a a 0答案：n = 2例5：定义方程f(x)= f' (x)的实数根x0叫做函数f (x)的“新驻点”若g (x )= x, h (x ) = In (x +1),申(x )= x3 — 1的“新驻点”分别为a,卩,Y ,则( )A. a > P > YB. 卩〉a>YC. Y > a > 卩D. 卩〉Y>a思路：可先求出g' (x), h (x ),p' (x)，由“新驻点”的定义可得对应方程为：x = 1,ln (x +1) = , x3 — 1 = 3 x2，从而构造函数x +1g (x)= x- 1,h (x) = ln(x +1)- ，申(x)= x3 -3x2 -1，再利用零点存在性定理判11断a,卩，丫的范围即可解：g'(x) = 1,h'(x)= ,p'(x)= 3x2x+1所以a,卩，丫分别为方程x = 1,ln(x +1)= ,x3 -1 = 3x2的根，即为函数：x+1g (x)= x- 1,h (x) = ln(x +1)- ,p (x)= x3 -3x2 -1 的零点I 1 x +1 1a = 1 Q h (0 )=-1 < 0, h (1) = ln2 -1 > 0 /. h (0 )• h (1)< 0 np e(0,1)1 1 2 1 1p'(x) =3x2 -6x = 3x(x -2) /p (x)在(0,2)单调减，在(-8,0),(2, +a)单调增,II，而 p (4 ) = 15 > 01而p (0) = -1 < 0，/x e (-8,2)时，p (x)< 011/p(2).p (4)<0 e(2,4)11/.P 0/.3x e (3,4) g (x ) = 000'7、7(7)=ln — — 1 > 0. x w< 2丿20l 2丿，所以C选项符合条件g答案：C例 7：设函数 f (x)= ex + 2x - 4,g (x) = Inx + 2x2 - 5 ,若实数a,b 分别是 f (x), g (x)的零点，则( )A. g (a)< 0 < f (b) B. f (b)< 0 < g (a)C. 0 < g(a)< f (b) D. f (b)< g(a)< 0思路：可先根据零点存在定理判断出a,b的取值范围：f(0)= —3 < 0,f(1)= e + 2 — 4 > 0 , 从而 a w(0,1)； g(1)= —3 < 0, g(2)= ln2 + 3 > 0 ，从而 b w (1,2) ， 所以 有 0 < a < 1 < b < 2，考虑0 = f(a)= g (b)，且发现f(x),g (x)为增函数。