线性代数序章线性代数基础知识1•单位矩阵：对角线上均为1,其余元素都是0的n阶方阵，记作I在矩阵多项式f（A）中单位阵I对应代数多项式f（x）中的1,纯量阵kl对应常数k2•零矩阵：元素全为0的矩阵，记作03.矩阵的p阶子式：设L二min{m,n},指以a -a （p < L）的p个元素为主对角线构成的，含p2个11 pp元素的 p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1. 向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A对应一个矩阵的列（或行）向量组A'2. 线性表示：如果存在一组数kJ使向量b =£ xa，那么称b能被向量组A （或记匕」）线性表示;i i i i ii=1也就是线性方程组 Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3•等价：如果向量组B'中的任何向量b都能被组A'线性表示，反之亦成立，称组B'和组A等价；也就是矩阵方程AX=B和BX-1=A都有解，即r（A） = r（B）行向量组等价与矩阵等价的关系：（1） 向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念（2） 当两个同型矩阵A，B的列向量组等价，A与B等价此时：方程 Ax=0 和 Bx=0 同解， r（A）=r（B）（3） 当矩阵A与B等价，经行/列变换得到B,则A与B的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩n1•线性相关：对于向量a ,a a，如果存在不全为零的实数k ,k，…,k使得工k a = 0，那么这些1 2 n 1 2 n i ii=1向量线性相关，也就是方程Ak=O有非零解线性无关：对于向量a ,a ,...,a，如果当且仅当k ,k ,...,k全为零时，才有乙k a = 0，那么这些1 2 n 1 2 n i ii=1向量线性无关，也就是方程Ak=O只有零解2•判定方法：如果向量组A对应的矩阵的秩＜向量数，则组A线性相关；如果向量组A对应的矩阵的秩=向量数，则组A线性无关；3•向量组的秩定义：向量组A中线性无关向量的最大个数，记为r，A中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1•基：如果向量空间V中任一向量都可被V中一线性无关向量组A线性表示，称组A为V的一个基基变换：设A,B为V的两组基，记P = A-1 B为过渡矩阵，则B = Pta2•维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V的维数，称V为r维向量空间3•坐标：如果向量空间V中一向量b =工x a，且｛a ｝是V的基，则称& ｝为b在基A中的坐标i i i i ii=1证明向量组A是空间V的基，就是要写出V中任一向量｛ ｝在基A中的坐标表达式i坐标变换：设A,B为V的两组基，对应坐标为x,y,记P = A-1B为过渡矩阵，则y = P-1 x1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数:|）x = £ x2 = '、：xTx， n 为向量维数2.广义的向量夹角aTbHHi=1-aTb -b在a上的投影：p = a aTa3. 向量的正交性：两个向量x,y的点积（或xTy ）为零，则两向量正交;零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4. 规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q为规范正交基，若向量b =才x.q.,则坐标x = qTb或写作x = QTbi i i ii=l5. 基向量的规范正交化：3T The Gram-Schmidt process starts with independcni vectors g …冋 and ends with orlhonormal vectors At step j it subtracts from aj itscomponents in the directions qi】…that arc already settled:釦=匂一 3丄1幻)幻-】• (11)Then q」is the unit vector Aj/ ||A」||.第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1•向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n维实向量的非空集合，记作Rn公理化定义：设V是一非空集合，R为实数域；Parti:运算的封闭性若对于任意两个元素鼠,V，总有唯一的元素1 e V与之对应，称1为（X, 0的和； 若对于实数九与任一元素& eV，总有唯一的元素5 eV与之对应，称S为圧，九的积；Part2：运算的法则八条运算律分别为：（1 ）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为 0 （4）元素的负元素唯一（5）乘法元为 1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V为实向量空间，V中元素称为向量。
2. 张成的空间：由向量组ta ｝生成的向量空间记为L = \x = £ h al九，…,九e R〔i I i i 1 m I1 i=1 丿3. 子空间：包含零向量，对加法和数乘封闭的Rn的子集最小的子空间是只含零向量的空间乙最大的子空间是Rn本身4. 等价与向量空间：两个等价向量组张成的空间是同一个空间2.2 四个基本子空间1•对于一个mxn,秩为r的初等矩阵A：矩阵的列空间（C）： n列矩阵可视为n个列向量排列在一起，在这n个列向量中，所有线性无关向量（主 列向量，基向量）张成的空间，称为列空间，维数是r,在Rm中矩阵的解空间（N）： N（A）={ x | Ax=0 , xw Rn}，基向量是所有特解，维数是n-r，N在Rn中矩阵的行空间（C（At））：即矩阵At的列空间，基向量是主行向量，维数是r,在Rn中 矩阵的左零空间：N（ At）={ y | ATy =0 , yw Rm}，基向量是所有特解，维数是m-r，在Rm中2. 子空间维数与线性方程组的关系： 解空间维数=自由变量数；行空间维数=列空间维数=主变量数；左零空间维数=约束条件数2.3 空间的正交性1. 向量与空间正交：向量A与空间a内的所有向量正交，则A与a正交2. 子空间正交：空间V有两子空间a和B，若a中的所有向量与B中的所有向量都正交，则a与B正交直线与直线，直线与平面都可以正交，但平面不能与平面正交3. 正交补：两个互正交子空间的维数之和等于母空间维数，则它们互为正交补4. 基本子空间的正交性：行空间与解空间互为正交补，列空间与左零空间互为正交补第二篇线性方程组第一部分线性方程组 Ax=d求解线性方程组的含义：找出A中真正对构建列空间有贡献的基向量组a （有用信息），寻找向量d 在列空间中的坐标x （用a线性表示b的方法）；可解条件的含义：d必须在A的列空间内，增广矩阵（A, d）所包含的有用信息量必须恰好与A包含 的信息量相等（基的数量不能变多）第一章消元法1.1 高斯消元法和初等变换1 .高斯消元法：选定非零行第一个不为零的元素作主元T消去同一列中主元下方其他元素（变成0）—继续找非零行，确定第二个主元的位置-消去下方其他元素-直到下方为零行说明：当出现零行，高斯消元法即失效；如果上下交换行位置可以解决此问题（譬如恢复为上三角阵）则可以继续；如果没有一种交换能解决问题，即可以断定方程组无解或无穷多解2. 初等变换：（1）交换方程次序（2）数乘方程（3）一个方程加上另一个方程的 K 倍3•主变量：解向量x中行标号等于主元列标号的变量，数量和系数矩阵的秩相等自由变量：除去主变量，解向量x中其他的变量，自由变量数（n-r）+秩/主变量数（r）=未知数个数（n）4•阶梯形矩阵（EF）：全零行在最下方，主元的列标号随行标号增加严格递增行最简形矩阵（RREF）：在EF基础上，主元均为1并且都是所在列唯一非零元素12齐次线性方程组的解法1. 可解性判断（设 n 为未知数个数）：（1）唯一解（零解）：r（A）二n（2）有（无穷多）非零解：r（A） < n2. 解法：① A转化为RREF②找出所有主元③确定自由变量（自由变量数为零时，以对角阵求唯一解④ 对其中一个自由变量取1，其余自由变量取0求出第一特解x1n-r —y Cx⑤ 重复步骤四，求特解Xj,直到取遍所有自由变量⑥通解= i ii=11.3非齐次线性方程组4x二b的解法1. 可解性的判断：（1） 无解：当 r（A） < r（A,b）（出现了 0=1）（2） 无穷解：r（A） = r（A,b） < n （有自由变量）（3） 唯一解：r（A） = r（A,b） = n （没有自由变量）推广：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r（A） = r（A, B）2•解法：①A转化为RREF，自由变量全部取0,求特解x*② 通解 = 一个非齐次特解 + 对应齐次方程的通解3. 特殊情况的具体分析（以三元方程组为例，观察方程的系数（即法向量 ）：1）三个平面平行，无解（2）其中两个平面平行，无解3）三个平面组成了三角形，无解（左侧：式1+式2-式 3=0，右侧非零）4）三个平面交于一直线，无穷解（左侧：式1+式2-式 3=0，右侧=零 0）第二章行列式（前注：这是一个方阵的概念）2.1 行列式的定义1. 逆序数：对于一个排列中的元素pi,排在pi前面比pi大的元素总数，称为pi的逆序数一个排列的逆序数=各元素逆序数之和，逆序数为奇数称奇排列，逆序数为偶数称偶排列行列式的逆序数特点：N阶行列式一共N!项，带+的项列标排列都是偶排列，负项对应奇排列2.第一定义：D —工（―1口a a ••-a ，其中｝是一排列，T是对应的逆序数1p1 2 p2 npn ip1p2...pn3•余子式：把一个矩阵划去第i行和第j列得到子矩阵M, Cj = det（Mj）称为余子式ij ij代数余子式：A. =（―1》匕det（M..）称为代数余子式ij ij4•第二定义（按第i行展开）:D 二兰 a Aij ijj=12.2 行列式的性质1)det(XAnxn)=儿 det( A)(2) det(A) = det(At) (3)det(AB) = det(A)det(B)4）对角/上三角/下三角矩阵的主元（主对角线上元素）之积 = 矩阵的行列式5）线性性质：① 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式② 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零③ 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和④ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变⑤ 互换两行（列）行列式变号（6）和余子式相关的性质：工（行列式某一行元素X另一行对应元素的代数余子式）=02.3 克莱默法则det B克莱默法则：对于方程Ax=b，解得分量x = ~det才，其中Bj是把A的第j列替换成b得到的矩阵推论：如果一齐次线性方程组的系数行列式非零，则该方程只有一个零解，没有额外解第二部分线性方程组Ax二入X （方阵概念）第一章特征值与特征向量1.1 特征值与特征向量1•特征方程：（1）第一形式：对方程Ax二九x，入称为特征值，非零向量x称为特征向量（2）第二形式：（A —九I）x 二 0当且仅当det（A -九I）二0时入是有意义的，x是存在的；x总是不唯一的2. 特征值性质：（1 。