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1、精品文档第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义 画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角ABC，量AB的长发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2）1如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若D为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30，则B的对边和斜边： ；（给出证明）三边之间的关系： 。知识点二：验证勾股定理 知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a
2、、b、c。 求证：a2b2=c2。证明：例2。已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。求证：a2b2=c2。证明：知识点四：勾股定理简单应用 在RtABC中，C=90(1) 已知：a=6, b=8，求c(2) 已知：b=5，c=13，求a知识点五：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为，满足，那么，这个三角形是直角三角形利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 先找出最大边（如c） 计算与，并验证是否相等。 若=，则ABC是直角三角形。若，则ABC不是直角三角形。1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24
3、,c=24 C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为,则这个三角形是( )A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形3.已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形.知识点六：勾股数（1）满足的三个正整数，称为勾股数（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数（3）常见的勾股数有：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25； 11、60、61；9、40、411.设、是直角三角形的三边,则、不可能的是（ ）.A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,151
4、. 若线段a，b，c组成Rt，则它们的比可以是（）A.234 B.346 C.51213D.467知识点七：确定最短路线1. 一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,AB有一只甲虫从A出发，沿表面爬到，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是 .AB知识点八：逆定理判断垂直1在ABC中，已知AB2BC2CA2，则ABC的形状是( )A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D无法确定2如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是( )A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答
5、案都不对知识点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现
6、下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均为正整数,mn);,.其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A.; B.; C.; D.2已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25B.14 C.7D.7或253.三角形的三边长为,则这个三角形是( )A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.4.ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2，则( )A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角C.c边的对角
7、是直角 D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）6、7、8，8、15、17，7、24、25，12、35、37，9、40、41A、1个 B、2个 C、3个 D、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.如图，=90，=5，=8，=11，则的长为 （ ）A、10 B、11 C、12 D、139.如图、山
8、坡的高=5，水平距离=12，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A、19棵 B、20棵 C、21棵 D、22棵10.RtABC中，=90，、所对的边分别是、，若=2，则+的值是 （ ）A、6 B、8 C、10 D、411.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（）、9，12，15 B、，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，912.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在RtABC中，
9、C=90，若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_2.现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 4.如图中字母所代表的正方形的面积：= = 5.在ABC中，C90，若 a5，b12，则 c 6.ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，SABC = 。7.在RtABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是 。8.在ABC中，AC=17 cm，BC= 10
10、cm，AB=9 cm，这是一个_三角形（按角分）。9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。三、简答题1.判断正误，并指出为什么？（1）ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。（2）若已知ABC为直角三角形，则第三边为52.在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn)。 求证：ABC是直角三角形。3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积(画图求解)4.已知一艘轮船以16的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12的速度向东南方向航行，它们离开港口一
11、个半小时相距多少千米？(画图求解)5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？6.如图，在四边形ABCD中，BAD =，DBC =，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD； 家庭作业：一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2； B.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2；C.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2；D.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c22. ABC的三条边长分别是、，则下列各式成立的是（）A B. C. D. 3直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A121 B120 C90 D不能确定4斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 ACB5假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边、满足，那么这个三角形是 三角形，其中边是 边，边所对的角是 6一个三角形三边之比是，则按角分类它是 三角形7如图，已知中，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 8 一
