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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题7 指对跨阶系列二之同构式构造秒杀秘籍:同构式问题构造xex与xlnx 我们发现,在,而在,在,在考查同构式的类型中,构造来求取值范围,构造来判断零点个数及分布;同构式模型:,;【例1】对于任意的不等式恒成立,则a的取值范围是 解:,故只需,由于在,故,即.【例2】(2018长郡月考)已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是 解:由题意得:恒成立,则需要满足,显然恒成立,故只需,即.【例3】对,不等式恒成立,则实数的最小值为( )A BCD解:由题意得:,令,此时要构造过原点的切线放缩模型,故,即.【例4】(2018武邑期中)设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的取
2、值范围是 解:,即恒成立,.【例5】(2019衡水金卷)易知,不等式对任意的实数恒成立,则实数的最小值是( ) A BCD解:由题意得:对恒成立,此时,即,选D.【例6】(2019武汉调研)已知函数,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A BCD解:由题意可知:,即构成同构式,只需,故选B.【例7】已知方程有3个实根,则实数的取值范围是 解:构造,根据定义域可知,如图,当时,此时,仅存在,使,此时只存在两个实根,不合题意;当时,则一定存在或者(偏移情况),考虑到极值是左偏的,故时,定义域要求完全覆盖,故,即.秒杀秘籍:放对再放指,常数是关键关于指对跨阶,由于属于递增过快,若不是存在或
3、者之类的可以直接消除对数的,一般考虑对递增较慢的进行放缩,但在区间内重点考虑切线放缩,通常放缩有:;(取等条件);(取等条件);(取等条件); (取等条件);(取等条件,和根据找基友证明)【例8】(2019榆林一模)已知不等式,对于任意的恒成立,则的最大值 解:要取等,看系数,由于取等条件不一,且并未消除常数项,则此放缩法失效,考虑消除常数项,故构造取等条件是,此时取等的,故,即【例9】(2019重庆巴蜀月考)已知(1)当时,求函数在上的最小值;(2)若,求证:.解:(1)时,当时,当时,故;(2) 思路:此题若放缩,定会遇到很多问题,所以根据“放对再放指”的原理,由于,先放,由于此题无常数项
4、,故不采用来增加常数项,由于,的出现暴露了需要“降次”,故试用,则可得,此时只需证明,此时再利用“指数找基友”即可证明不等式,或者放缩成也可以;证明:,由于,故,故只需,令,当时,即,故只需证,只需证令,故在,在当时,即证【例10】(2018甘肃会宁)已知函数(1)求函数的单调区间;(2)证明:解(1)参考例9;(2)思路1:第(1)问不会白给,故利用“分而治之”,此过程一定要有凹凸函数的反转,构造,利用;思路2:“放对后放指”,要证明,只需证明,故只需证明显然失败,失败区间在,故思考取等区间在上的切线放缩式子,构造,取等条件为,即,只需证,这时需要涉及找点的知识,虽然此式已经构造成功,但这里
5、不详叙述;构造利用切线放缩,过原点切线,故恒成立达标训练1(2018广东期末)已知函数的定义域是,其导函数是,且,则满足不等式的实数的集合是( )A BCD2(2019沈阳一模)已知函数,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD3(2019全国卷调研)设实数,若对任意的,若不等式恒成立,则的最大值为( )ABCD4(2018衡水中学)已知是方程的实根,则关于实数的判断正确的是( )ABCD5(2019长沙测试)若,恒有,则实数的最小值为( )ABCD6(2018南通期末)已知函数的定义域为,是函数的导函数,对任意的,恒成立,则关于实数的不等式的解集是 7. (2018芮城期末)已知函数(1)设是的极值点,求的值并求的单调区间;(2)若不等式在恒成立,求的取值范围8.(2018浙江期末)已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若,求证:9.(2018德阳模拟)已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线垂直于直线,求证:当时,10.(2018荆州一模)已知函数,为函数的导函数(1)若,求证:对任意,;(2)若有两个极值点,求实数的取值范围11.(2018新课标)已知函数(1)设是的极值点,求,并求的单调区间;(2)证明:当时,12.(2014全国卷I)设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求;(2)证明:.专心-专注-专业