《空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分，它是以 空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置，是空间曲线的一些基本性 质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率 之间满足多种不同的关系时，就会得到不同类型的曲线.例如：k 0时为直线,T = 0时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率 和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式 和曲率、挠率的一般
2、参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算 和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识一空间曲线的伏雷内标架给出C2类空间曲线(c)和(c)上一点p .设曲线(c)的自然参数表示是r = r (s),其中s是自然参数，得口 dr a = rds是一单位向量.a称为曲线(c)上p点的单位切向量.由于a =1,则山I_r r.在a上取单位向量P 二一=TTap称为曲线(c)上p点的主法向量.再作单位向量Y称为曲线(c)上p点的副法向量.我们把两两正交的单位向量a,p,y称为曲线上p点的伏雷内(Frenet)标架.1.2空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲
3、线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小 的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度 越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一 曲线段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在P、Q间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中c 3类曲线(c)的方程为r - r(s).曲线(c)上一点p，其自然参数为s，另一邻近点p，其自然参数为s + As .在p、1p两点各作曲线(c)的单位切向量a(s)和a(s + As).两个切向量的夹角是A9，
4、也 就是把点p的切向量a(s + As)平移到点p后，两个向量a(s)和a(s + As)的夹角1为A.我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲 率.定义川空间曲线(c)在p点的曲率为A中 k (s) = lim ，AsAs0其中As为p点及其邻近点p间的弧长，A为曲线在点p和p的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量r(即|r(t) =1)的微商的模|r,(t)|的几何意义是r。）对于t的旋转速度”.把这个结果应用到曲线（c）的切向量a上去，则有由于a = ?，所以曲率也可表示为k (s)=r由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于 孤长的
5、旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于孤长的旋转速度就 越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空 间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量一挠率.1.3空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密 切平面的程度）.现在设曲线（c）上一点p的自然参数为s，另一邻近点p的参数为s + As，在p、p两点各作曲线（c）的副法向量Y（s）和y（s + As）.此两个副法向量的夹角是中（如图一）.（图一）再利
6、用命题“一个单位变向量r（即|r=1）的微商的模,（叫的几何意 义是r对于t的旋转速度”.把这个结果应用到曲线（。）的副法向量向量Y上去， 得到Y = lim 皱，sAs0此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速 度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法 向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲 线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有m r a a，k (s)对y = a x p求微商，有Y = (a x P) = ax p + a x B = k (s )P x p + a x B = a x
7、B因而又因为Y是单位向量，所以由以上两个关系可以推出现在我们给出挠率的定义如下：定义川 曲线C）在p点的挠率为:+ Y，当Y和P异向， T (S) =-Y，当Y和P同向.挠率的绝对值是曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度.介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率，下面我们来看 Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet公式的推导根据(3)及挠率的定义有Y = -t(s)P(4)另外，对P = yxa求微商，并利用(4)和(2)，可以推导出P =(Y x a ) = Yx a + y
8、x a=-t ( s)P x a + y x k ( s )P(5)=-k (s)a +t ( s ) y公式(2)，(5)，(4)称为空间曲线的伏雷内(Frenet)公式，即n-a = k(s)P P = -k(s)a +t (s)y，Y = -T ( s )P这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量a、P、y关于弧长s的微 商可以用a、P、y的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵0k ( s )0-k ( s )0t ( s )、0-T (S)02.2曲率的一般参数表示式的推导若给出c3类的空间曲线(c)r = r(s).，则有_ dr ds _ dsds dt dt,ds d
9、2 sd r(ds )2 d 2 s(ds )2 d 2 sr,=r+ r=+ r=r+ r，dtdt 2dsI dt)dt 2L dt)dt 2所以 ds(ds 2 d 2 s0 rn(ds )3r, x r, = r xr+ r=rx r，dtL dt)dt 2Ldt)由上式得r, x r, = r r d sin 0 .注意上式中r = i,r r,迎=r,dt因而有由此得到曲率的一般参数表示式2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的(4)式Y = t (s) p，两边点乘p得因而t =- Y中=Y便=(a xP)R a)k )1 An 1 A1 口 1皿k) Y+ k Y)口皿
10、皿y, y , yI )k 2尸，|6 f y , y, yXxr/ , x r ,再把 ds r, = r dtmr, = r2 d 2 s + r dt 2x r, x r,)中得x r,所以得到皿r, =-x r,)=f d J y dt)ds d 2 s 皿 d 3 sY + y- dt dt 2 dt 3/A日皿皿Y，Y，Y = y )/A6日皿皿r，6 Y，Y，Y，y )x r,x r,t =x r,这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线(c)在一点的密切圆(曲率圆)是过曲线(c)上一点P(s)的主法线的正侧取线段PC，使PC的长为L，
11、以C为圆心，以1为半径在密切平面上确定 kk一个圆，这个圆称为曲线(c)在P(s)点的密切圆(曲率圆)，曲率圆的中心称为曲 率中心，曲率圆的半径称为曲率半径(如图二)(图二)3. 有关曲率、挠率的计算和证明例1川求圆柱螺线r a cos0, a sin 0, bO(-30 v+s)的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程r = a cos0, a sin 0,厌,先计算r, = a sin 0, a cos0,b, r, = a cos0，_a sin 0,0 ,r, a sin 0, a cos0,0 ,于是有e1a sin 0a cos 0a cos0 bab sin 0, ab cos 0, a
12、 2,一a sin 00(a 2 b 2 + a 4.代入曲率和挠率的公式得r, x r,a 2 + b_G, r“,）_ba 2 _ b（r, r,）a 2b 2 + a 4a 2 + b 2由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例2 证明曲率恒等于零的曲线是直线.证明已知k = r三0,因而r=0,由此得到r = a （常向量）.再积分即得r = as + b,其中b也是常向量.这是一条直线的参数方程.例3 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明 若0,则y是固定向量，但是我们已知邛=0,因而有八/ = ,积分后得ry = a （常数）， 所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、 挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语：空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中 Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在 经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：1梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）M.北京：高等教育出版社，2008.
