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1、一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师准备知识回顾：1、 一元二次方程的求根公式为。2、 一元二次方程根的判别式为：（1） 当时，方程有两个不相等的实数根。（2） 当时，方程有两个相等的实数根。（3） 当时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识1若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2、如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。3、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是4、在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若
2、两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。5、二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程 的两个根，那么如果方程无根,则此二次三项式不能分解.基础运用例1：已知方程的一个根是1，则另一个根是 ， 。解：变式训练：1、已知是方程的一个根，则另一根和的值分别是多少？2、方程的两个根都是整数，则的值是多少？例2：设是方程，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） 变式训练：1、 已知关于的方程有实数根，求满足下列条件的值：（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。2、已知
3、关于的方程。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）取何值时，方程有两个正根。（3）取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（4）取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程的两根之比为1：2，判别式的值为1，则是多少？例4、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求的值。例5、若方程与有一个根相同，求的值。基础训练：1关于的方程中，如果，那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定2设是方程的两根，则的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33下列方程中，有两个相等的实数根
4、的是（ ）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2x+2=0（D）3x22x+1=04以方程x22x30的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A） y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0 （D）y25y6=05如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x122x11，x222x21，那么x1x2等于（ ）（A）2 （B）2 （C）1 （D）16.关于x的方程ax22x10中，如果a0，那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定7.设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值是（
5、 ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）38如果一元二次方程x24xk20有两个相等的实数根，那么k 9如果关于x的方程2x2(4k+1)x2 k210有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 10已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 11若关于x的方程(m22)x2(m2)x10的两个根互为倒数，则m .二、能力训练：1、 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2x=5 (2)9x26+2=0 (3)x2x+2=02、 当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已
6、知关于x的方程10x2(m+3)x+m7=0，若有一个根为0，则m= ， 这时方程的另一个根是 ；若两根之和为，则m= ，这时方程的 两个根为 .4、 已知3是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。5、 求证：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1和1+。7、 设x1,x2是方程2x2+4x3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)+ （3）x12+ x1x2+2 x18、如果x22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;9、方程2x(mx4)=x26没有实数根，则
7、最小的整数m= ;10、已知方程2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则m= ;11、设关于x的方程x26x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ; 12、设方程4x27x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1x2（3）（4）x1x22x113、实数、分别满足方程1929910和且199920求代数式的值。14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1(a2x2a21)=0有无实根？15、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x1)(x2)k2都可以分解成两个一次因式
8、的积。16、实数K在什么范围取值时，方程有实数正根？训练（一）1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、 若方程x2(2m1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是 ;3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+和2，则p= ,q= ;4、 已知方程3x219x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;5、 若方程x2+mx1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ;6、 m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式 mn= 。7、 已知
9、关于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;8、 如果和是方程2x2+3x1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一 元二次方程，使它的两个根分别等于+和+;9、 已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2(4k+1)x+2k21可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程222（3）10的两实数根为,，若，求的取值范围。训练（二）1、 已知方程x23x+1=0的两个根为,，则+= , = ;2、 如果关于x的方程x24x+m=0与x2
10、x2m=0有一个根相同，则m的值为 ;3、 已知方程2x23x+k=0的两根之差为2，则k= ;4、 若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3，则a= ;5、 方程4x22(a-b)xab=0的根的判别式的值是 ;6、 若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;7、 已知p0,q0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;8、 以方程x23x1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、 设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 10m取什么值时，方程2x2(4m+1)x
11、+2m21=0（1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式=1，求p,q的值。12是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。2、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；x1x2= 。3、以2和3为根的一元二次方程(二
12、次项系数为1)是 。4、如果关于x的一元二次方程x2+x+a=0的一个根是1，那么另一个根是 ，a的值为 。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。6、已知方程2x2+mx4=0两根的绝对值相等，则m= 。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p0)的两根为0和1，则qp= 。8、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。9、已知关于x的一元二次方程(a21)x2(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。10、已知关于x的一元二次方程mx24x6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=2，则m= ，(x1+x2)= 。11、已知方程3x2+x1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为 。12、已知一元二次方程的两
