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1、一元二次方程根与系数的关系习题主编:闫老师准备知识回顾:1、 一元二次方程的求根公式为。2、 一元二次方程根的判别式为:(1) 当时,方程有两个不相等的实数根。(2) 当时,方程有两个相等的实数根。(3) 当时,方程没有实数根。反之:方程有两个不相等的实数根,则 ;方程有两个相等的实数根,则 ;方程没有实数根,则 。韦达定理相关知识1若一元二次方程有两个实数根,那么 , 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。2、如果一元二次方程的两个根是,则 , 。3、以为根的一元二次方程(二次项系数为1)是4、在一元二次方程中,有一根为0,则 ;有一根为1,则 ;有一根为,则 ;若
2、两根互为倒数,则 ;若两根互为相反数,则 。5、二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时,如果可用公式求出方程 的两个根,那么如果方程无根,则此二次三项式不能分解.基础运用例1:已知方程的一个根是1,则另一个根是 , 。解:变式训练:1、已知是方程的一个根,则另一根和的值分别是多少?2、方程的两个根都是整数,则的值是多少?例2:设是方程,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值:(1) (2) (3) (4) 变式训练:1、 已知关于的方程有实数根,求满足下列条件的值:(1)有两个实数根。 (2)有两个正实数根。 (3)有一个正数根和一个负数根。 (4)两个根都小于2。2、已知
3、关于的方程。(1)求证:方程必有两个不相等的实数根。(2)取何值时,方程有两个正根。(3)取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大。(4)取何值时,方程到少有一根为零?选用例题:例3:已知方程的两根之比为1:2,判别式的值为1,则是多少?例4、已知关于的方程有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求的值。例5、若方程与有一个根相同,求的值。基础训练:1关于的方程中,如果,那么根的情况是( )(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根 (D)不能确定2设是方程的两根,则的值是( )(A)15 (B)12 (C)6 (D)33下列方程中,有两个相等的实数根
4、的是( )(A) 2y2+5=6y(B)x2+5=2x(C)x2x+2=0(D)3x22x+1=04以方程x22x30的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( )(A) y2+5y6=0 (B)y2+5y6=0 (C)y25y6=0 (D)y25y6=05如果x1,x2是两个不相等实数,且满足x122x11,x222x21,那么x1x2等于( )(A)2 (B)2 (C)1 (D)16.关于x的方程ax22x10中,如果a0,那么根的情况是( )(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根 (D)不能确定7.设x1,x2是方程2x26x30的两根,则x12x22的值是(
5、 )(A)15 (B)12 (C)6 (D)38如果一元二次方程x24xk20有两个相等的实数根,那么k 9如果关于x的方程2x2(4k+1)x2 k210有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是 10已知x1,x2是方程2x27x40的两根,则x1x2 ,x1x2 ,(x1x2)2 11若关于x的方程(m22)x2(m2)x10的两个根互为倒数,则m .二、能力训练:1、 不解方程,判别下列方程根的情况:(1)x2x=5 (2)9x26+2=0 (3)x2x+2=02、 当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根; 当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3、 已
6、知关于x的方程10x2(m+3)x+m7=0,若有一个根为0,则m= , 这时方程的另一个根是 ;若两根之和为,则m= ,这时方程的 两个根为 .4、 已知3是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值。5、 求证:方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1和1+。7、 设x1,x2是方程2x2+4x3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值:(1) (x1+1)(x2+1) (2)+ (3)x12+ x1x2+2 x18、如果x22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式,则m= ;9、方程2x(mx4)=x26没有实数根,则
7、最小的整数m= ;10、已知方程2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等,则m= ;11、设关于x的方程x26x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为 ; 12、设方程4x27x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1x2(3)(4)x1x22x113、实数、分别满足方程1929910和且199920求代数式的值。14、已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x2+2ax+1(a2x2a21)=0有无实根?15、求证:不论k为何实数,关于x的式子(x1)(x2)k2都可以分解成两个一次因式
8、的积。16、实数K在什么范围取值时,方程有实数正根?训练(一)1、 不解方程,请判别下列方程根的情况;(1)2t2+3t4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、 若方程x2(2m1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值范围是 ;3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+和2,则p= ,q= ;4、 已知方程3x219x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、 若方程x2+mx1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是 ;6、 m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式 mn= 。7、 已知
9、关于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8、 如果和是方程2x2+3x1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程,使它的两个根分别等于+和+;9、 已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相 等的实数根,求证:这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2(4k+1)x+2k21可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程222(3)10的两实数根为,,若,求的取值范围。训练(二)1、 已知方程x23x+1=0的两个根为,,则+= , = ;2、 如果关于x的方程x24x+m=0与x2
10、x2m=0有一个根相同,则m的值为 ;3、 已知方程2x23x+k=0的两根之差为2,则k= ;4、 若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3,则a= ;5、 方程4x22(a-b)xab=0的根的判别式的值是 ;6、 若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为 ;7、 已知p0,q0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;8、 以方程x23x1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、 设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根,求下列各式的值:(1)x12x2+x1x22 (2) 10m取什么值时,方程2x2(4m+1)x
11、+2m21=0(1) 有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根;11设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式=1,求p,q的值。12是否存在实数,使关于的方程的两个实根,满足,如果存在,试求出所有满足条件的的值,如果不存在,请说明理由。一元二次方程根与系数关系专题训练主编:闫老师1、如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两根是x1、x2,那么x1+x2= ,x1x2= 。2、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的两个根,那么:x1+x2= ;x1x2= ; ;x21+x22= ;(x1+1)(x2+1)= ;x1x2= 。3、以2和3为根的一元二次方程(二
12、次项系数为1)是 。4、如果关于x的一元二次方程x2+x+a=0的一个根是1,那么另一个根是 ,a的值为 。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k= 。6、已知方程2x2+mx4=0两根的绝对值相等,则m= 。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p0)的两根为0和1,则qp= 。8、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数,则m= 。9、已知关于x的一元二次方程(a21)x2(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a= 。10、已知关于x的一元二次方程mx24x6=0的两根为x1和x2,且x1+x2=2,则m= ,(x1+x2)= 。11、已知方程3x2+x1=0,要使方程两根的平方和为,那么常数项应改为 。12、已知一元二次方程的两