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1、 滨 州 学 院毕业设计（论文）开题报告题 目 判定数项级数敛散性方法的探讨 系 （院）数学与信息科学系年级 2009 专 业 数学与应用数学 班级 1班 学生姓名 曲洋 学号 2009010477 指导教师 窦慧 职称 滨州学院教务处二一三年三月 一、 课题的目的意义：数学分析作为数学专业的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用.数项级数是数学分析的一个重要组成部分，是全部级数理论的基础，是研究“无穷项相加”的理论，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.数项级数主要包括正项级数和交错级数，而研究数项级数的首要问题就是判别级数的敛散性问题.级数的收敛问题是级数理论的基
2、本问题，是当今数学分析的重要内容，判别数项级数的收敛或发散，是级数的重点.在18世纪，甚至到今天，级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分.如今，级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如e，以及对数函数和三角函数值.级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如初等函数的展开，以及借助级数进行近似计算等.随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用级数所取得的成功变得越来越多.本文将写出判别级
3、数敛散性的若干种方法，及其若干应用.二、文献综述：历史上，人们曾把无穷个实数相加看成无穷个数的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在庄子天下篇中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：，从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”的和是多少？如果写成其结果是0.如果写成其结果是1.两个结果完全不同.因此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”？如果存在,“和”是多少？十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前项和形成一个
4、数列，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平均数为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然是一个数，记为，由于，即为，得.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：，把代入得到，他用同样的讨论得到其他的一些结果.例如把代入得，而这些结果现在看起来都是荒谬的.后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆
5、面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数-正项级数.定义在区间的函数项级数，当在内任意取定一点时, 便得到一个数项级数.自然, 对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半径求解，函数项级数一致收敛Weiers
6、trass判别法(M判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性.近年来新的有效的判别法不断被提出，比如高斯判别法、对数判别法、比值判别法的推广等，这些新的判别法克服了经典判别法的一些缺点，判别范围更广、更有效.本文介绍了正项级数敛散性判断的多种方法.文章分为四部分内容：比较判别法及其推广，积分判别法，导数判别法及两种一般项级数的判断方法.比较判别法是正项级数敛散性重要的判断方法，分别以等比级数、级数及为比较对象，得到了达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法等，上述三级数通项级数通项收敛于零的速度依次变慢，因此所得判断方法范围更广泛.参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析(第
7、三版)M.北京：高等教育出版社，2006:6-16.2 李铁烽.正项级数判敛的一种新的比值判别法J.北京：数学通报,1990, (1) :46 - 47.3 龙艳.关于正项级数收敛性判断的一个推广J.长春师范学院学报, 2009,28(6):1-3.4 冯江浪.关于一些特殊正项级数敛散性的判别法J.中国科技信息,2009,(1):25.5 唐翠娥 级数敛散性的拉阿贝判别法的推广J,大学数学，2005,21(2):132-134.6 宋文青，滕厚山.基于级数判敛的正项级数敛散性判别方法J.高等数学研究,2005,8 (3):18-19.7马爱华.正项级数敛散性Raabe判别法的几种等价形式J,临
8、沂师范学院学报2006,24(3)83-84.8 曾亮，两类正项级数敛散性判别法的改进及推广J.河北北方学报,2010,26(5):14-17.9姬小龙,王锐利.正项级数的Gauss指标判别法J,数学的实践与认识.2008,38(11):207-20910 潘红,储亚伟.正项级数收敛性的集中新方法J.科技信息,2008,(6):4-7.11 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，2006:448-452.12 刘玉璞.导数在正项级数敛散性判定中的应用J. 高等数学研究，1994,(2)：13-14.13 谭宝军.关于正项级数收敛的一个命题J.辽宁师专报,2007,9(1)
9、: 28-29.14 菲赫金哥尔茨.微积分学教程M.北京：高等教育出版社，2006,1.15 B.A卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析 M .北京：高等教育出版社，2006，12.三、课题研究的内容、方法和预期目标： 课题研究的内容：首先探讨数项级数敛散性的含义及其几种常用判别法，特别是它们的应用；然后探讨正项级数敛散性判别法对数项级数散性判别的作用，特别是比较判别法和柯西判别法在判断级数敛散性中的重要作用；最后研究数项级数敛散性判别法在整个数学分析的作用，以及在实际生活中的作用. 课题研究的方法：本文主要通过对级数的各种敛散性判别法关于它们的证明过程及应用其解决相关的例题的探讨.以及简单介绍它
10、们之间的关系,如强弱性的比较,可以清楚的知道不同形式的适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.即通过明确有关概念，收集相关资料，找出求解问题的方法，得出正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.课题研究的预期目标：熟悉数项级数敛散性判别方法的使用条件及特点，在做数项级数敛散性综合判别时，不再束手无策，或者带有盲目性的选择判别方法，不再拿判别方法进行实验性解题，即只求得结果，不问方法的简单与繁琐，而是可以用一种简单的足够恰当的方法就可以轻松解题，得出正确答案.四、所需仪器设备、材料情况：计算机、打印机、打印纸、图书资料等五、课题分阶段的进度计划序号起止日期工作内容阶段成果1查阅搜集相关资料确定论文题目2查阅、搜集资料，了解评教问题的主要因素完成开题报告3对搜集的文献资料进行分析、归纳、整理完成论文基本框架4力求理解和掌握文献资料丰富论文内容5丰富论文内容，学生自查完成论文初稿6根据指导教师的意见，对论文模型作进一步修改完成论文二稿7根据指导教师意见，进一步修改二稿，进一步完善论文，规范论文格式完成论文定稿8论文答辩准备阶段完成所需答辩材料指导教师意见（详细填写指导教师意见） 签字： 年 月 日系主任意见签字（公章）： 年 月 日
