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1、旋转证明一 利用旋转添加辅助线A B A DB A CB A EB A FB A 例1. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，且始终.过点A做APEF.1求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD. 3假设EFC周长为，求正方形的面积.变式1：如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，AB=a，MCN的周长为2a，ADMBCN求证：MAN=45ABCED 1.如图，直角梯形ABCD中，ADBC,ABBC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90到ED，连结AE、CE,那么ADE的面积是。A B A C D E F 2.如图，在正方形ABCD中
2、，点E，F分别为DC，BC边上的动点，且始终满足AF平分，探究：BF、DE与AE的关系.5.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45，那么有结论EF=BE+FD成立。1如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。2假设将1中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF仍然是BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立。请写出它们
3、之间的数量关系，并证明。例2.在等边ABC中，O为ABC内一点，连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=,求AOB，BOC的度数分别是多少？A BA CA DA 2.如图，点D为等边ABC外一点，,AD=4,CD=3，求BD的长。3.在等边ABC中，O为ABC内一点，连接AO、BO、CO，有AOB，BOC=.问：AO、BO、CO三条线条能否构成一个三角形假设能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？假设不能，请说明理由。2509朝阳一模.本小题8分 图 图1 ：如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且DCE=45. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直
4、角三角形； 2：如图，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；3在1的条件下，如果AB=10，求BDAE的值2509西城一模：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.1如图，当APB=45时，求AB与PD的长；2当APB变化，且其它条件不变时，求PD的 最大值，与相应APB的大小.二 旋转型相似例1.图1是边长分别为a和bab的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起C与C重合的图形1操作：固定ABC，将CDE绕点C按顺时针方向旋转30，连结AD，BE，如图2
5、；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论2操作：假设将图1中的CDE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论3根据上面的操作过程，请你猜测当为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？不要求证明图1 图2 图3例2.如图为等边ABC和菱形BDEF,DBF=601观察图形,猜测AF与CD之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.2将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转,使菱形BDEF的一边落在等边ABC内部,在图中画出一个变换后的图形,并对照图形标记字母,
6、请问:(1)中的结论是否依然成立?假设成立请证明;假设不成立,请说明理由;3在上述旋转过程中,AF与CD之间所夹的锐角度数是否发生变化?假设不变,请你求出它的度数,并说明理由;假设改变,请说明它的度数是如何变化的.A C B A C B D F E 练习1点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN1假设和是等腰直角三角形，且(如图1)，那么是三角形2在和中，假设BA=BE,BC=BF,且，如图2，那么是三角形，且.3假设将2中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么2中的结论是否成立？假设成立，给出你的证明；假设不
7、成立，写出正确的结论并给出证明.3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，ABAC，ECED，BACCED，直线AE、BD交于点F。(1)如图，假设BAC60，那么AFB_；如图，假设BAC90，那么AFB_；(2)如图，假设BAC，那么AFB_(用含的式子表示)；(3)将图中的ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图或图。在图中，AFB与的数量关系是_；在图中，AFB与的数量关系是_。请你任选其中一个结论证明。4、我们给出如下定义：假设一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，那么称这个四边形为等平方和四边形。1写出一个你所学过的特殊四边形中是
8、等平方和四边形的图形的名称：2如图，在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，垂足为O。求证：AD2+BC2=AB2+DC2。即四边形ABCD是等平方和四边形。3如果将图中的AOD绕点O按逆时针方向旋转a度0a90后得到图，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？假设能，请证明；假设不能，请说明理由。三正方形中的旋转例1.如图1ABC中，ABBC1，ABC90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。(1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。证明DMDN；在这一旋转过程中，直角三角
9、板DEF与ABC的重叠局部为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？假设发生变化，请说明是如何变化的？假设不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。练习：1.AOB=900，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)
10、，易证：OD+OE=OC当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?假设成立，请给予证明；假设不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜测，不需证明2.08平谷一模25在图中，把一副直角三角板ABC和EFG其短直角边长均为4叠放在一起如图，且使三角板EFG 的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合现将三角板EFG绕点O顺时针旋转旋转角满足条件：，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠局部如图1在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；2联结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，
11、GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；图图3在2的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面积恰好等于ABC面积的？假设存在，求出此时x的值；假设不存在，说明理由3.08延庆一模231：有两块完全相同的含45角的三角板，如图101，将RtDEF的直角的=顶点D放在RtABC斜边AB的中点处，这时两块三角板重叠局部DBC的面积是ABC的面积的；2如图102，点D不动，将RtDEF绕着顶点D旋转090，这时两块三角板重叠局部为任意四边形DNCM，这时四边形DNCM的面积是ABC的面积的；3假设RtDEF的顶点D在AB上移动不与点A、B重合，且两条直角边与RtABC的两条
12、直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠局部的面积是RtABC的面积的，如果存在，请在图103中画出此时的图形，并说明点D在AB上的位置。如果不存在，说明理由。图103图102图1014.08东城一模25ABC中，AB=AC=3,BAC=900,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.1如图1，假设BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠局部AEDF的面积直接写出结果； 2如图2，假设BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE，两块三角板重叠局部的面积为，求
13、出的函数关系式,并写出自变量的取值范围； 3假设,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E，设CF=，两块三角板重叠局部的面积为，求出的函数关系，并写出自变量的取值范围 2409延庆一模.如图241，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E1猜测：ME 与MF的数量关系2如图242，假设将原题中的“正方形改为“菱形，且M =B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明3如图243，假设将原题中的“正方形改为“矩形，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由4如图244，假设将原题中的“正方形改为平行四边形，且M =B ，AB:BC = m，其它条件不变，求出ME：MF的值。直接写出答案四.倍长中线解决四边形旋转例1.08请阅读以下材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结假设，探究与的位置关系与的值DABEFCPG图1DCGPABEF图2小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决以下问题：1写出上面问题中线段与的位置关系与的值；2将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变如图2你在1中得
