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1、13.2推理的几种基本方法预备知识 不等式基本性质及不等式的解法 索数、奇数、偶数等概念 数列的有关知识 立体几何中有关体的概念 函数的奇偶性与函数图象的对称性重 点 合情推理与演绎推理的一般方法 归纳推理与类比推理在数学发现中的应用喊绎推理的一般形式及其应用 数学归纳法的原理与应用难 点 归纳推理与类比推理在数学发现中的应用喊绎推理的一般形式及其应用 数学归纳法的原理与应用学习要求： 通过学习教材中列举的例子体会归纳推理与类比推理在数学发现中的应用，并能对一些数学问题作出合情推理，提出一些合情的猜想 理解演绎推理的一般形式及其应用方法，会运用演绎推理解决一些简单的数学问题 理解数学归纳法的原
2、理，会运用数学归纳法证明一些简单的关于自然数n的数学命了解数学归纳法的局限性1 .几种主要的逻辑推理导出和判定命题真假，离不开推理过程.推理必须符合逻辑，即应该是逻辑推理.对 不同的命题，尽管推理过程千变万化，但并非无章可循，我们仍然可以从中总结出一些基 本规律和原则.简单地说，推理可以分为 合情推理 与演绎推理 两大类.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程看下面这个例子：6=343; 8=3与；10=5+5=3+7; 12=5+7;我们可以发现如下规律：各等式的左边是大于4的偶数，右边各加数为奇素数.由
3、此可以合乎情理地推测，大于 4的偶数都可以表示为两个奇素数之和.这就是著名的哥德巴赫猜想.它是从有限个特例通过不完全归纳提出的猜想.这就是合情推理的一种，叫做归纳推 理.众所周知，到目前为止这个浅显易懂的猜想尚未得以证明.换言之，尽管我们目前还 举不出反例，但它仍然只是个猜想，未必正确.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 .合情推理与演绎推理之间联系紧密、相辅相成.卜面对合情推理与演绎推理的一般形式及其特点加以分析.(1)归纳推理归纳推理(简称归纳)是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式.如果仅能对部分事实验证结论，则叫做
4、 不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做 完全归纳 法.不要被 不完全归纳法”、完全归纳法”之类的名称吓倒，其实这种归纳法你经常在应 用.例如，给出数列前几项13 5 7 an=2,4,6,8, , ), bn= , , ,，,2 4 8 16要求写出数列的通项，你立即会写出an=2n, bn=2黑(n=1,2,3,:)这就是归纳推理.当然在没有对所有正自然数n验证之前，只是不完全归纳；一旦根据其它条件得到了验证，就成为完全归纳了.不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必是正确的.17世纪著名数学家费马曾k通过不元全归纳得出猜想an =2 +1(nN)是一个素数在n=0,1,2,3
5、,4时这个猜想都是正确的，但随着n的增加，an增长太快了，而要确定一个很大的数是否为素数又非常困难， 所以这个猜想长期处于既不能证明其为真，但又不能举出反例证明其为假的两难境地.直至18世纪，另一位大数学家欧拉才证明了当n=5时它是错的.同样，哥德巴赫猜想也是通过不完全归纳法得出的结论，它的正误尚无定论，因此仅仅叫做猜想.然而有些不完全 归纳法导出的结论，也被人们所认可.例如在初中，我们通过度量各种三角形的内角大小， 得出 主角形内角和为180 的结论，因为我们并未能(实际上也不可能)对全部三角形作验 证，因此它也是一种由不完全归纳法得出的结论.完全归纳法必须穷尽被考察对象的一切特例后才能作出
6、结论，因而结论是确凿可靠 的.但是要无一遗漏地考察所有特例往往是困难的，只有在某些特定的情况，才有作出完 全归纳的可能.课内练习11 .作出直线y=&x+0.5,并从图象上观察这条直线是否经过整点.(注：整点是指在直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点)2 .请你猜想：直线 y =J2x+0.5是否永远不会经过整点.3 .你能写出一个直线y=kx永远不经过整点”的充分条件吗？4 .你能证明你对第2题的猜想吗？5 .下表列出了一些多面体的顶点数、棱数和面数，请你先将表格填写完整，然后猜想任意多面体的顶点数、棱数和面数之间有没有关系.多囿体名称顶点数棱数面数四向体464止方体8多面体名称顶点数棱数
7、面数三棱柱6五棱台151（x 0）,6 .判断分段函数f （x） =0（x=0），的奇偶性.-1（x ：0）7 .回忆指数函数y=ax的单调性是怎样得出的.是完全归纳还是不完全归纳？能再举出一些归纳法推理的例子吗？8 .请归纳一下“已知三角形的两边和其中一边的对角，解此三角形”的所有情形.（2）类比推理类比你一定经常应用，例如，学习如逆水行舟不进则退 ”、光阴似箭，一去不复回之类的比方，就是以逆水行舟来类比学习，推出不进则退的结论；以箭来类比光阴，推理 出一去不复回的结论.这些结论激励你珍惜时间，不断求进.数学上也有一种叫做类比推理的方法.它是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点
8、之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式.例如，下表对正方形和正方体作了类比.止方形（边长为a）正力体（棱长为a）四边相等，邻边垂直八,面相同，邻回垂直面积a2体积a3MHx： 4a表面积6a2对角线长j2a体对角线J3a周长一定的矩形中，止方形面积最大表面积 正的长方体中， 正方体体积取大有内切圆（半径为a）2后内切球（半径为）止方形内切圆的内接正方形面积为原 1止刀形面积的一2正方体内切球的内接正方体表向积为原 1正方体表向积的-3止方形的对称轴有4条?请你在类比中推测正方体有几条对称轴（注意：绕轴旋转180后应该与原正方体重合）.类比推理也仅是一种合情推理，与归纳推理一
9、样，主要用类比的方法，从已知规律探索和发现未知的规律，所得结论也往往是一种猜想，并不可信，还需检验和证明.上表中右列结论有的不难验证，有的你可能要学过立体几何（II）后，才能很好地证明.你猜想正方体有4黑3 = 12条对称轴或3 2= 9条对称轴都是合情的，但如果进一步从正方形的对 称轴特点去类比推理可能更易得出正确的答案.在科学技术领域，广泛应用类比推理的方法，从已知去发现未知.比如利用某些与人 类有共同之处的动物作药品初期试验，用风洞试验飞机的各种性能等等.课内练习21 .如图13-2,类比直角三角形 ABC和直角顶点四面体 A-BCD （AB,AC,AD两两垂直），设 四面体的顶点A,B
10、,C,D所对的面的面积依次为 O,P,Q,R,由勾股定理类比推测 O、P、Q、 R之间的关系，并证明你的结论. 图 13-22 .根据牛顿的万有引力定律，质量分别为m1,m2,距离为r的两个物体之间的引力大小为F =G?鲁，其中G为引力常数.有人将它与两个城市间的电话通话数量作类比推理， r猜想电话的通话量相当于万有引力F,两个城市的人口相当于 m1、m2,两个城市间的距离相当于r,这些量之间也可能有类似的公式.研究者对各个城市间的通话数量作了大量的统计分析，发现的确存在类似的数量关系.请你也由万有引力定律作一些类比推理，推测 一些可能的关系.3 .欧姆定律是指电路中的电流I与电压U成正比，并
11、由欧姆定义了比值 R = U为电路的电阻值，单位即为欧姆.请你由此猜测：假设两个不同温度的物体之间，距离和其它因素固定不变，它们之间的热量传递速度与温差之间可能存在什么关系？请查阅热学方面的书籍或上网搜索关键词 热传导定律”，证实你的猜想.（3）演绎推理归纳、类比两种合情推理，一般具有发现性和创新性，但带有臆测、猜想倾向.演绎推理则是由一般性的命题严格地推出特殊性命题的一种推理模式，它主要用于证明给定的演绎推理的名称尽管初次出现，但它早已为我们所应用.例如，证明对顶角相等，就 是由“平角等于180 d这个命题，经过演绎推理得到的:平角等于180 .如图13当所示，因为/ AOB为平角，所以/
12、AOB=180 ,又因为/ 1 +/ 2=ZAOB,所以/ 1 +Z 2=180 土同理，/ 1 +/ 4=180 所以/ 2=74.同理，/ 1 = 7 3.演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式 .三段论 可以表示为一个一般原理（大前提）：M P（M是P）;一个特殊情况（小前提）：S“（$是“）；结论：SP （S是 P）.大前提与小前提是一般原理和特殊情况的内在联系体.如上例所示，平角（M）是180YP）”是一个一般性原理；2AOB（S）是平角（M）”是本题的特殊情况，从而产生结论“/ AOB（S）是1801S是P）”.接下来的各步推理其实也都含有这三段，但因为
13、平时在显见的情况下， 常常略去了大前提演绎推理是数学中的最重要推理形式，平时很多数学题（包括计算题）都是用这种推理形式来解算或论证的.例 1 已知 f （x+3）=2x2-1,求 f（0）,f（x）.解 对任意实数x, f（x+3）=2x2-1（大前提）, 取x =-3（小前提）,则f（-3+3）=f（0）=17.（结论）对任意实数x, f（x+3）=2x2-1（大前提），令x+3=t,即取x=t-3（小前提）,则f（t）=2（t-3）2-1=2t2-12t+17.（结论）对任意实数t, f（t）=2t2-12t+17（大前提），取t=x（小前提）,则f(x)=2x2-12x+17.(结论)当
14、然，你在解题时不必每一步都写出大前提、小前提、结论，完全可以按照我们已经 习惯了的书写格式来表达推理过程，象本例中的大前提也不必表述得如此完整，共用的大 前提一般只要写一次即可，一些显见的推断过程可以省略.但如果你在解算、论证时遇到 了阻力，不妨按此方式整理一下思路，也许能帮你解脱困境.这是因为演绎推理还能把特 殊情况明晰化，使之能与某些一般性命题相联系.例2求证：函数f(x)=x4+2x2-1的图象关于y轴对称.证明f(x)的定义域为R.当xWR时，f(-x)=(-x)4+2(-x)2+1= x4+2x2-1=f(x), 所以f(x)为偶函数.又因为偶函数图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于y轴对称.在上面的证明过程中，先证得f(x)为偶函数的结论，使“ f(x)的图象关于y轴对称”这个特殊问题与“偶函数图象关于y轴对称”这个一般性命题建立了联系.演绎推理的另一个功能，是可以揭示出并不显见的性质或规律，在一定程度上也可以认为是新知识的发现.例如，将一元二次函数/ b、2 4ac -b2y =a(x+)十一 ,2a 4a这时便很容易看出二次函数蕴含的性质：当彳直(a0)或最大 2aD课内练习31 .说出下列演绎推理过程中省略的部分，并分析推理的三段论结构.(1)求证：三角形 ABC内角和等于180 .证明：如图13Y,延长BC到点D
