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1、人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章 相似 本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方了解两个三角形相似的概
2、念，探索两个三角形相似的条件 【本章难点】 通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题 【学习本章应注意的问题】 通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方(3)了解
3、两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小 相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题 专题1 比例线段 【专题解读】 解决有关比例线段
4、的问题时，常常利用三角形相似来求解 例1 如图2796所示，A，B，D，E四点在O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE8，OC12，EDCBAO(1)求证；(2)计算CDCB的值，并指出CB的取值范围分析 利用CDECAB，可证明证明：(1)EDCBAO，CC， CDECAB，.解：(2)AE8，OC12， AC12+416，CE=1248 又， CDCBACCE168128 连接OB，在OBC中，OBAE4，OC=12， 8BC16【解题策略】 将证转化为证明CDECAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决如要证，可设法证，
5、然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。 例2 如图2797所示，在等腰三角形ABC中，过A作ADBC，过C作CEAB，又作DFCE，FGAD，求证 分析 欲证，可将其分成三个比例式，再将三式相乘即可不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了 证明：延长FG交AB于K，连接DK， DFEC，BEEC，DFBE， ABAC，ADBC， BDDC，EFCF FGBC，12， RtFDCRtEKF， KFDC，34， 四边形KFCD是平行四边形，25， EKD3+54+290， DKAB， DFAB，BADFDG， RtADBR
6、tDGF， GKBD，AKGABD， 在ABD中，ADB90，DKAB，ADBAKD 又AKDKGD,ADBKGD， 由，得例3 如图2798所示，在ABC中，已知A：B：C=1：2：4，求证. 分析 原式等价于1，也就是，在CA上取一点D，使CDBC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有BCEDCE，从而易证ADDECE，于是只需证即可 证明：A：B：C1：2：4， 设Ax，则B2x，C4x 作CE平分BCA，交AB于E， 在AC边上取一点D，使CDCB，连接DE， DCEBCE， CDEB2x，DECBEC=3x， 又C
7、DEA+DEA，DEAx，ADDE， 又DEEC，ADCE 在ABC和ACE中，CABCAE，ACEB2x， ABCACE， 即， ,=1 即.二、规律方法专题专题3：相似三角形的性质【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形 例4 如图2799所不，在ABC中，看DEBC，DE4 cm，则BC的长为 ( ) A8 cm B12 cm C11 cm D10 cm 分析 由DEBC，可得ADEABC，因为，所以,所以因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B.
8、例5 如图27100所示，在ABC中，ABBC12 cm，ABC80，BD是ABC的平分线，DEBC. (1)求EDB的度数； (2)求DE的长 分析 (1)由DEBC，得EDBDBCABC，可求EDB(2)由DEBC，得ADEACB，则，再证出BEDE，可求DE 解：(1)DEBC，EDBDBC. BD平分ABC， DBCABC8040，EDB40 (2)BD平分ABC，ABDDBC， DEBC，EDBDBC， EDBEBD，BEDE DEBC，ADEACB， . ，DE=6 cm 【解题策略】 将比例式中的AE转化为ABDE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解 例6 如图27
9、101所示，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC，求证ABCFDE分析 由已知可证FDEB，FEDC，从而可证ABCFDE证明：FDAB，FEAC， FDEB，FEDC， ABCFDE 例7 （08无锡）如图27102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于点F，求证ABFEAD 分析 由矩形的性质可知BADD90，再由BFAE可证AFBD和DAEFBA，从而证明ABFEAD 证明：在矩形ABCD中，BADD=90， BFAE，AFBD90， ABF+BAE90 又DAE+BAEBAD90， ABFEAD， ABFEAD， 三、思想方法专题 专题4 分类讨论思想【专题解读】 分
10、类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题例8 在ABC中，ABBCAC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条 分析 如图27103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DFBC，或作CDHB，或作ADGB，故填4 专题5 建模思想 【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题 例9 如图27104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可
11、以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CDa，由此他知道A，B间的距离是( ) Aa B2a Ca D3a 分析 D，C分别为OB，OA的中点，CD是ABO的中位线，CDAB，AB2CD2a故选D 【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决 例10 如图27105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD3 m，标杆与旗杆的水平距离BD15 m，人的眼睛与地面的高度EF16 m，人与标杆CD的水平距离DF2 m，求旗杆AB的高度 分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长 解：因为C
12、DFB，ABFB，所以CDAB， 所以CGEAHE，所以，即，所以，解得AH119，所以ABAH+HBAH+EF11.9+1.613.5(m)故旗杆AB的高度为135 m专题6 转化思想 【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题 例11 如图27106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F求证BO2OFOE 分析 要证BO2OFOE，只需证，而OB，OE，OF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证AOFCOB和AOBCOE，即有，从而得证 证明：在ABCD中，ABCE，ADBC， AOFCOB，AOBCOE， ， ， OB2OFOE 例12 在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，如果ABC的周长是16，面积是12，那么DEF的周长、面积依次为 ( ) A8，3 B8，6 C4，3 D
