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1、 .概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X为连续型随机变量，则PX=1=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X的分布律为PX=k=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ).4、设X服从N（1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则E（XY+1-Y）=（ 1 ） ，D（2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量XN(,2),(X-5)/4服从N(0,1),则=( 5 );=( 4 ).6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：X Y 123
2、0.150.154AB且X与Y相互独立。则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X1,X2,Xn是取自均匀分布U0,的一个样本，其中0,是一组观察值，则的极大似然估计量为( X(n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则P(A1)=0.4,
3、P(A2)=0.35,P(A3)=0.25, P(B| A1)=0.9 ,P(B| A2)=0.3,P(B| A3)=0.1所以,(2) 2、已知随机变量X的概率密度为其中0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P-1X1/); (3)F(1). 解：（1）由归一性：（2）（3） 3、设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4且，求(1); (2); (3).解：（1）（2）（3）4、若XN(,2),求, 2的矩估计.解：（1）E(X)= 令= 所以的矩估计为（2）D(X)=E(X2)-E(X)2 又E(X2)=D(X)= -=所以2的矩估计为三、解答题（12
4、分）设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?解：提出假设检验问题：H0: =70, H1 ：70,t(n-1),其中n=36,=66.5,s=15,=0.05,t/2(n-1)=t0.025(35)=2.036所以,接受H0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量的联合密度函数为：试求: 常数C ； , ； 与是否相互独立？ ,； ,.附：（1.96）=0.975； （
5、1）=0.84； （2）=0.9772t0.05(9)= 1.8331 ; t0.025(9)=2.262 ; ， t0.05(36)= 1.6883 ; t0.025(36)=2.0281 ; ， 解：(1)所以,c=9/(e3-1) (2)所以,同理, (3)因为: 所以,X与Y相互独立.(4) (5) 概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P（A）=1/3，P（B）=1/4，P（AB）=1/2.求P（AB）、P（A-B）.解：P（AB）= P（A）+P（B）- P（AB）=1/12P（A-B）= P（A）-P（AB）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白
6、球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用表示“从甲袋中任取一球为红球”， 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。则。由全概率公式3、已知随机变量X的密度函数为（1）求A.（2）X的分布函数.解：（1）由得A=1。（2）4、若，为相互独立的分别服从上均匀分布的随机变量，试求的分布密度函数.解：显然的联合概率密度为；否则，。先求的分布函数。当时，当时，当时，当时，所以，的分布密度函数5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.
7、解：设表示抽取的1600人中受过高等教育的人数，则， 。6、某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间.解：由于未知，故的0.95双侧置信区间为代入数据得，得的0.95双侧置信区间观测值为7、设总体的密度函数为其中是未知参数，且。求的矩估计与极大的似然估计量。解：设是取自总体的样本。因为令解得的矩估计为。由 ，解得的极大的似然估计为二、解答题（9分）某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从分布。问该校这次考试的平均成绩
8、与全市平均成绩差异如何？（）解： 由于已知，用检验。算得由表查得。由于所以拒绝H0，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异显著三、综合题（15分）设随机变量具有下列概率密度(1) 求。（2）与是否独立？为什么？（3）求。（1）由得。（2）的概率密度 ，否则；的边缘概率密度 ，否则。由于，所以与不独立。（3）四、证明题（6分）设随机变数具有对称的分布密度函数，证明：对任意的有。.附：, 证： = =概率论与数理统计期末复习题三一、计算题（每题10分，共70分）1、设P（A）=1/4，P（A-B）=1/8，且A、B独立。求：P（B）、P（AB）。解：由1/8=P（A-B）= P（A）-P（A
9、B）=P（A）-P（A）P（B）得：P（B）=1/2P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）= P（A）+P（B）-P（A）P（B）=5/82、某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2 。甲的中奖率为0.1, 乙的中奖率为0.3 。任购1张彩票，求中奖的概率。解：设A1=“任购1张彩票，购到甲两种彩票”， A2=“任购1张彩票，购到乙两种彩票”， B=“任购1张彩票，购到中奖彩票”。则P（A1）=3/5， P（A0）=2/5，P（B|A1）=0.1， P（B|A2）=0.3 P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=9/503、设随机变数X的分布函数为（1） 求常数。
10、（2）求X的密度函数。解：（1）因为，所以（2）X的密度函数4、某镇年满18岁的居民中受过高等教育的10%年收入超过10万。今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中不少于11%的人年收入超过10万的概率。解:设表示抽取的1600人年收入超过10万的人数，则，5、设总体的密度函数为其中是未知参数，且。求的矩估计与极大的似然估计量。解：，令，故的矩估计量为。另，似然函数对数似然函数为解得的最大似然估计量为6、某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间，假设处理每笔业务所需时间服从正态分布，现随机地抽取16笔业务，测得所需时间为（min）。由此算出min，min，求处理每笔业务平均所需
11、时间的双侧0.95置信区间。解：由于未知，故的0.95双侧置信区间为其中由表查得7、设随机变量与独立，且服从上的均匀分布，服从参数为1的指数分布，试求的概率密度。解：显然的联合概率密度为先求的分布函数。当时，当时，当时，所以，的分布密度函数二、解答题（9分）某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（）解： 由于已知，用检验。算得由表查得。由于所以拒绝H0，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异显著三、综合题（15分）设随
12、机变量具有下列概率密度(1) 求。（2）与是否独立？为什么？（3）求。解：（1）由得。（2）的概率密度为，故。的概率密度当时当时故的概率密度：。由于，所以与不独立。（3）四、证明题（6分）设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有 P（。证明：附:, 概率论与数理统计期末复习题四一、计算题（共66分）1、（8分）设事件与互不相容，且，求下列事件的概率：。与互不相容，所以，；由于与互不相容，这时，从而；由于，从而。2、 （9分）某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2。甲的中奖率为0.1， 乙的中奖率为0.3 。任购1张彩票，求中奖的概率。设A1=“购到甲种彩票”， A2=“购到乙两
13、种彩票”， B=“购到中奖彩票”。则P（A1）=3/5， P（A0）=2/5，P（B|A1）=0.1， P（B|A2）=0.3。P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=9/50。3、（10分）设随机变量X的分布函数为（1） 求常数。（2）求X的密度函数。1）因为，所以 （2）X的密度函数4、（12分）设随机向量具有下列概率密度 (1) 求。（2）与是否独立？为什么？（3）求。（1）由得。（2）的概率密度为，故。的概率密度当时当时故的概率密度。由于，所以与不独立。（3）5、（11分）设总体的密度函数为其中是未知参数，且。求的矩估计与极大似然估计量。，令，故的矩估计量为。另，似然函数对数似然函数为解得的最大似然估计量为。6、（8分）设是取自总体X的样本。X的概率密度为写出联合概率密度。联合概率密度7、 （8分）设随机变量与独立，且服从上的均匀分布，服从参数为1的指数分布，试求的概率密度。显然的联合概率密度为先求的分布函数。当时，当时，当时，所以，的分布密度函数二、应用题（共34分）1、（9分）某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率为0.8，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97
