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1、二重积分计算中积分限的确定摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点 .本文旨在介 绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.关键词:二重积分 累次积分 积分限 积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次 积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结 出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。1 高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:1 。(1) 画出积分区域 确定积分区域是否为X-型或Y翌区域，如既不是X-型也不是Y翌区
2、域，则要将积分区域 化成几个X-型和Y翌区域，并用不等式组表示每个X-型和Y浬区域.(3) 用公式化二重积分为累次积分.(4) 计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好，尤其是在第二步中，确定积分区域从 而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点 心得.2 教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单 解释一下该口诀，然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个 积分变量必然会有个先后顺序，这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上
3、下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后，我 们在其上下限内画一条和上下限平行的直线，该直线沿着坐标轴的正方向画过来，这样该直线 如果和积分区域总是有两个交点，先交的即为另一个积分变量的积分下限，后交的即为其积分 上限.3 例题解析例1计算xydxdy，其中D是由直线x = 2, y = 1, y = x所围成的区域.D解:作出积分区域D的图形在这个例题中我们既可以选择先对x积分也可以选择先对 y积分若我们选择先对x积分,那么根据口诀需要先把后积分的变量y的积分限根据积分区域先定下来从积分区域图可以看出y最小取到1最大取到2 然后我们在y的限y = 1和
4、y = 2内画一条和这两条直线平行的直线，易见这条线只要画在y = 1和y = 2内，则其左边总是和直线x = y相交，从而x的积分下限即为y ,而右边总是和直线x = 2相交, 从而x的积分上限为2这样就完成了二重积分到累次积分的转化：JJ xydxdy=J2 ydy J2 xdx = J2 y (2 一 y 21 y1211若我们选择先对y积分也是可以的。先把后积分的变量x的积分限根据积分区域确定 下来。从积分区域图易见x最小取到1最大取到2。然后在x = 1和x = 2内画一条和 这两条直线平行的直线，只要这条线画在x = 1和x = 2内，则其下边总是和y = 1相 交，而上面总是y
5、= x相交。从而y这个积分变量的下限为1上限为x。于是该二重 积分也可转化为下面的二次积分来计算：JJ xydxdyJ 2 xdx1J xydy = J 2(12x一 )dx =2x4x21=1-8例 2 计算 JJ xydxdy ，其中 D 是由抛物线 y 2 = x 和直线 y = x 一 2 所围成的区域。D解 首先作出积分区域图xy=x-2在本题中若我们选择先对x积分，则根据积分区域图和上面介绍的口诀可以知道该重积分化为二次积分为：JJ xydxdy=J2 ydy J2 xdx-1y2=1 J2y(y + 2)2 - y5dy = 5 5在本题中若我们选择先对y积分，则根据积分区域图我
6、们先把x的上下限定下来, 由图可见x最小取到0最大取到4。但在x = 0和x = 4这两条直线之间画和他们 平行的直线的时候发现在x = 1这条直线的左右两侧情况有所不同：在x = 1的左侧所画直线上下均与抛物线y 2 = x相交，而右侧所画直线下面是与直线y = x - 2相 交上面是与抛物线相交。从而本题若选择先对y后对x积分则需要将积分区域从直 线x = 1处分割成两半来处理：1 x 4 xJJ xydxdy = J xdx J ydy + J xdx J ydy0一. x1x 一 2D 显然这样计算起来要比上一种方法复杂的多！故当积分区域属这种情况时一般来讲 我们会选择先对x后对y积分
7、。还有的情况恰与这种情况相反，那么我们为了简便 起见一般会选择先对y后对x积分。比如：例3:计算JJ xydxdy，其中D是由抛物线y = x2和直线D2所围成的区域。解 首先作出积分区域图在本题中若我们仍然选择先对x积分，则根据积分区域图易知：积分变量y的最小取 到0最大取到4。但是在y = 0和y = 4这两条直线之间画平行于它们的直线的时候会发现在直线y = 1的上下两侧所画直线与区域图的交点所在的曲线有所不同:在直线y = 1的下侧，所画直线左右两端均与抛物线相交。在直线y = 1的上侧，所画直 线左端与直线相交右端与抛物线相交。于是二重积分转化为累次积分进行计算时要 将积分区域沿直线
8、y = 1分割成两块来处理：yJJ xydxdy = J1 ydy J -0下面我们选择先对 y 积分看是否可以起到简化计算的效果：从积分区域图可以看到积分变量x最小取到-1最大取到2,在直线x = -1和x = 2之 间画平行于它们的直线时易见该直线上端总是与直线y = x + 2相交下端总是与抛物线y = x2相交，从而二重积分化为累次积分如下：JJ xydxdyJ 2 xdx-1J x + 2x2ydy(x3 + 4x 2 + 4x一1以上两个例题是根据积分区域选择积分次序以简化计算，积分次序的选择有时还要 根据被积函数来选择，比如下面这个例题：例4：计算jj x2e-y2dxdy，其中
9、D是由直线x = 0, y = 1及y = x所围成的区域。D解 先画出积分区域图y=ly=x若我们选择先对x积分，根据积分区域图，积分变量y最小取到0最大取到1, 在直线y = 0和y = 1之间画平行于他们的直线，该直线左端总是与直线x = 0相 交右端总是与直线x = y相交，从而二重积分化为累次积分为：jjx2e-y2 dxdyj1 e - y2 dy jy x2 dx =j1 y3 e - y2 dy0 0 3 011本题中若我们选择先对y积分，则有:jjx2e-y2 dxdy= j1 x 2dx j1e -y2dy0x由于e - y2的原函数不能用初等函数表出，因此我们无法求出二重
10、积分的值！ 综上所述，对于初学者在将二重积分转化为累次积分时，应该依积分区域和被积 函数的具体情况选择积分的先后顺序，方能达到简化计算的目的。参考文献：【1】杜先能孙国正。高等数学M。安徽大学出版社，2004【2】华东师范大学数学系。数学分析M。高等教育出版社，2004The integral limit s ascertaining in double integral s calculation( zhaojuan chenhao)(Department of Mathematics,Suzhou College,Suzhou, Abstract:That dual accumulate points calculates ascertain restricted to is that a priority also is a difficult poin article aim at ascertaining the method simple and easy t to in introducing that one kind of dual accumulate points Key words:Double Integral;Repteat Integral ;Integral Limi
