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1、第五章 静 电场5 -9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线,且离棒中心为 处的电场强度为 (2)在棒的垂直平分线上，离棒为 处的电场强度为若棒为无限长（即L），试将成果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析这是计算持续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽视，因而不能将棒当作点电荷解决.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元dx,其电荷为dq Qdx/,它在点P 的电场强度为整个带电体在点P 的电场强度接着针对具体问题来解决这个矢量积分(1) 若点P 在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相似,(
2、2) 若点P 在棒的垂直平分线上,如图(A)所示,则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零,因此，点P 的电场强度就是证 (1）延长线上一点P 的电场强度,运用几何关系 rr x统一积分变量，则电场强度的方向沿 轴.(2) 根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y 轴，大小为运用几何关系si =/r,统一积分变量,则当棒长L时，若棒单位长度所带电荷为常量,则P 点电场强度此成果与无限长带电直线周边的电场强度分布相似图(B).这阐明只要满足2/LR)解 将带电球分割成球壳，球壳带电由上述分析,球体内（0rR)球体外(r R）5 - 一种内外半径分别为R1 和2 的均匀带电球壳,
3、总电荷为Q ，球壳外同心罩一种半径为R的均匀带电球面，球面带电荷为Q2 .求电场分布电场强度与否为离球心距离 的持续函数？试分析.分析 以球心O为原点,球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布,高斯面上电场强度沿径矢方向,且大小相等.因而.在拟定高斯面内的电荷 后,运用高斯定理即可求出电场强度的分布.解取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析r R1 ,该高斯面内无电荷，故R1 r R，高斯面内电荷故 ，高斯面内电荷为Q1 2 ,故电场强度的方向均沿径矢方向,各区域的电场强度分布曲线如图(）所示在带电球面的两侧,电场强度的左右极限不同,电场
4、强度不持续，而在紧贴r =R3 的带电球面两侧,电场强度的跃变量这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然成果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳,壳层内外的电场强度也是持续变化的,本题中带电球壳内外的电场,在球壳的厚度变小时,E 的变化就变陡,最后当厚度趋于零时,E的变化成为一跃变51 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为1 和R2 1 )，单位长度上的电荷为.求离轴线为r 处的电场强度：（） r1 ，() R1 2 分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上,电场强度也必然沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面,只有侧面的电场强度通量不为零,且，求出不同半径高斯面内的电荷即可解
5、得各区域电场的分布解作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理r R1 , 在带电面附近，电场强度大小不持续，电场强度有一跃变R1 r 2， 在带电面附近，电场强度大小不持续，电场强度有一跃变这与5-2 题分析讨论的成果一致.-22 如图所示，有三个点电荷1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且Q1 Q3=Q已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、3 的状况下，将Q2从点 移到无穷远处外力所作的功.分析 由库仑力的定义,根据Q1、Q3 所受合力为零可求得Q.外力作功应等于电场力作功W 的负值，即W-求电场力作功的措施有两种:(1)根据功的定义,电场力作的功为其中E 是点电荷1、Q3 产生的
6、合电场强度（）根据电场力作功与电势能差的关系,有其中V0 是1 、3在点 产生的电势(取无穷远处为零电势)解1由题意Q1 所受的合力为零解得 由点电荷电场的叠加，Q1 、Q3 激发的电场在 轴上任意一点的电场强度为将Q2 从点O 沿y 轴移到无穷远处,(沿其她途径所作的功相似，请想一想为什么?)外力所作的功为解2 与解1相似,在任一点电荷所受合力均为零时，并由电势的叠加得1 、Q在点的电势将从点O 推到无穷远处的过程中,外力作功比较上述两种措施，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是由于在许多实际问题中直接求电场分布困难较大,而求电势分布要简朴得多.23已知均匀带电长直线附近的电场强度
7、近似为为电荷线密度.（1）求在r r1和 两点间的电势差;(2）在点电荷的电场中,我们曾取r处的电势为零,求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取? 试阐明解（1) 由于电场力作功与途径无关，若沿径向积分,则有（) 不能.严格地讲，电场强度只合用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间,r处的电势应与直线上的电势相等. 2 两个同心球面的半径分别为R1 和R2 ,各自带有电荷Q和Q2 求:（1）各区域电势分布,并画出分布曲线；（) 两球面间的电势差为多少？分析一般可采用两种措施(1) 由于电荷均匀分布在球面上,电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球
8、面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布,再由可求得电势分布.(2)运用电势叠加原理求电势.一种均匀带电的球面,在球面外产生的电势为在球面内电场强度为零,电势到处相等，等于球面的电势其中R是球面的半径.根据上述分析,运用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加,可求得电势的分布.解1(1) 由高斯定理可求得电场分布由电势 可求得各区域的电势分布.当r1时,有当RrR2时,有当rR2 时，有（2) 两个球面间的电势差解2() 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内,即rR1 ，则若该点位于两个球面之间，即R1 r2 ，则若该点位于两个球面之外，即rR2 ，则(2）两
9、个球面间的电势差第六章静电场中的导体与电介质6 1将一种带正电的带电体 从远处移到一种不带电的导体 附近，则导体B 的电势将( ）（) 升高 (B）减少 （C）不会发生变化() 无法拟定分析与解不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体 移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷;在远端感应正电荷,不带电导体的电势将高于无穷远处,因而对的答案为（)。6-3如图所示将一种电量为q的点电荷放在一种半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为，参见附图。设无穷远处为零电势,则在导体球球心O 点有( ）(A)(）(C）(D）分析与解达到静电平衡时导体内到处各点电场强度为零
10、。点电荷 在导体球表面感应等量异号的感应电荷q,导体球表面的感应电荷q在球心O点激发的电势为零，O点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而对的答案为（A)。6 -4根据电介质中的高斯定理,在电介质中电位移矢量沿任意一种闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论对的的是( )(A) 若电位移矢量沿任意一种闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B） 若电位移矢量沿任意一种闭合曲面的积分等于零,曲面内电荷的代数和一定等于零（)若电位移矢量沿任意一种闭合曲面的积分不等于零,曲面内一定有极化电荷(D) 介质中的高斯定律表白电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关(E)介质中的电位移
11、矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一种闭合曲面的通量积分等于零,表白曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会变化自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而对的答案为(E）。6 -5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念对的的是（ )（A)电介质布满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1倍(B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1倍(C） 在电介质布满整个电场时,电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/倍(D）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点
12、电场强度的倍分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷也许会变化电场中导体表面自由电荷的分布,由电介质中的高斯定理,仅当电介质布满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时,在电介质中任意高斯面S 有即E=Er,因而对的答案为（A)。 8一导体球半径为 ，外罩一半径为R 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V .求此系统的电势和电场的分布分析 若，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必然为等势体,电场强度到处为零,内球不带电若,内球电势不等于外球壳电势,则外球壳内电场强度不为零,内球带电.一般状况下，假设内导体球带电,导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示根据电荷的这一分布，运用高斯定理可求得电场分布.并由或电势叠加求出电势的分布.最后将电场强度和电势用已知量V0、R、R2表达解根据静电平衡时电荷的分布,可知电场分布呈球
