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1、解答：所以x=5000（元）.所以S的末四位数字的和为1+9 + 9 + 5=24 .3.因为二亥十600 n初甲乙两人每年收入提等，甲,储蓄全辨入的1,看每月比题甲多开支100元，三年后负债600元.求每人每年收入多少？2.若S=15+195+1995+19995+1的95,则和数S的末四位数字的和是多少?叼4 .一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程.5 .求和：工_6 .证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数./8 .若两个整数x,y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除.9 .如图195所示.在
2、四边形ABCD中，对角线AC,BD的中点为MzN：1MN的延长线与AB边交于P点.求证：PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半.江y千米.依题意则ab.即当ba0或b&a0时，等式成立.4 .设上坡路程为x千米，下坡路程为有由有2x+y=20,由有y=12-x.将之代入得2x+12-x=20.所以x=8(千米)，于是y=4(千米).5 .第n项为所以6 .设p=30q+r,0r30.因为p为质数，故-0,即0r30.假设r为合数，由于r30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5.再由p=30q+r知，当r的最小质约数为2,3,5时，p不是质数，矛盾.所以，r一定不是合数.7 .设由式得(2
3、p-1)(2q-1)=mpq,即(4-m)pq+1=2(p+q).可知m0,且为整数，所以m=1,2,3.下面分别研究p,q-若m=1时，有解彳3p=1,q=1,与已知不符，舍去.(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解.若m=3时，有解之得故p+q=8.8 .因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由题设，9|(x2+xy+y2),所以3|(x2+xy+y2),从而3|(x-y)2.因为3是质数，故3|(x-y).进而9|(x-y)2.由上式又可知，9|3xy,故3|xy.所以3|x或31y.若3|x,结合3(x-y),使得3|y;若3|y,同理
4、可得，3|x.9 .连结AN,CN,如图1103所示.因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，SaPCI=SACNDTpSACNp+SaDNR,因此只需证明Sand=SACNP-|-Sdnr由于M,N分别为AC,BD的中点，所以Sacnp=SacpmtSacmn=Saap附SAMN=Saanp.又Sadnp=SBNP,所以SCNP-pSadnP=Saanp+SabnP=SaanB=SAANID.初一奥数练习题二1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值.2 .某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验
5、，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件.试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3 .如图196所示.已知CBXAB,CE平分/BCD,DE平分/CDA/2=90.求证：DALAB.4 .已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2+b2+c2的值.5 .求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解.6 .王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22海=
6、回+x+4至少有一组解?7 .对k,m的哪些值，方程组L=(国8 .求不定方程3x+4y+13z=57的整数解.9 .小王用5元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1.原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2xX1+3X1-2x+2000=2003.2 .原来每天可获利4X100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4+x)元，但每天卖出为(100-10x)件.如果设每天获利为y元，则y=(44x)(100-10x)=40
7、0+100x-40x-10x2=-10(x2-6x+9)+90+400=-10(x-3)2+490.所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元./ ADC + / BCD=180 0 ,3 .因为CE平分/BCD,DE平分/ADC及/1+/2=90(图1104),所以ABXBC,所以AD/BC.又因为由，ABXAD.4 .依题意有所以a2+b2+c2=34.5 .Ix|y|-2|x|+|y|二4,即|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2所以(Ix|+1)(|y|-2)=2.因为|x|+10,且x,y都是整数，所以所以有6 .设王平买三年期和五年期国库券分别为x
8、元和y元，则因为 所以 所以 所以y=35000-x,x(1+0.0711X3)(1+0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786乂5)=47761,1.3433x+48755-1.393x=47761,0.0497x=994,所以x=20000（元），y=35000-20000=15000（元）7 .因为（k1）x=m-4,m为一切实数时，方程组有唯一解.当k=1,m=4时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解当k=1,mw4时，无解.所以，kwl,m为任何实数，或k=1,m=4时，方程组至少有一组解.8 由题设方程得z=3m-y.x=19-y-4（3m-y）-m=19+3y-1
9、3m原方程的通解为其中n，m取任意整数值9 设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y,得12x-5z=180.它的解是x=90-5t,z=180-12t.代入原方程，得y=-23017t故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12tx=20，y=8，z=12因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有123+4+5+6=2120个.初一奥数练习题三1 .解关于x的方程2 .解方程其中a+b+cw0.3 .求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和.4 .液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满,这时农药的浓度为7
10、2%,求桶的容量.5 .满足-1.77x=-2x的自然数x共有几个？这里冈表示不超过x的最大整数，例如卜5.6=-6,3=3.6 .设P是4ABC内一点.求：P到4ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围.7 .甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离.8 .黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1,这样继续下去，最后得到19,1997,1999,问原来的三个数能否是2,2,2?9 .设有n个实数x1,x2,，xn,其中每一个不是+1就是-1,且求证：n是4的倍数.解答：3-6b小4ab1 .化
11、简得6(a-1)x=3-6b+4ab,当a*1时，;2 .将原方程变形为由此可解得x=a+b+c.3 .当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1.即所求展开式中各项系数之和为1.依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0,即7x-20)(x-40)=0,5 .若n为整数，有n+x=n+x,所以-1.77x=-2x+0.23x=-2x+0.23x.由已知-1.77x=-2x,所以-2x=-2x+0.23x,所以0.23x=0.3, 4,国】一 1Q5又因为x为自然数，所以000.23x1,经试验，可知x可取1,2,共4个.6 .如图1105所示.在PBC中有BCPB+PC,延长B
12、P交AC于D.易证PB+PCAB+AC.由，BCPB+PCAB+AC,同理ACPA+PCAC+BC,ABPA+PBAC+AB.7 +得AB+BC+CA2(PA+PB+PC)2(AB+BC+CA).所以7 .设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千估空空年米.依题意得由得16y2=9xhsy=24,逊由得16y=24*9x,将之代入得即(24+9x)2=(12x)2.解之得于是所以两站距离为9X8+16X6=168(千米).8 .答案是否定的.对于2,2,2,首先变为2,2,3,其中两个偶数，一个奇数.以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数（数值可
13、以改变，但奇偶性不变），所以，不可能变为19,1997,1999这三个奇数.9 .由于n个实数卬犯，*1%为+1或-1,所以*,，Z2町0又因为所以，k是偶数，从而n是4的倍数.初一奥数练习题四1 .已知a,b,c,d都是正数，并且a+da,c+db.求证：ac+bdab.2 .已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍.因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍.调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2%,求乙种商品提价的百分数.3 .在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数.求三角形的三个内角.4 .某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|,求z的最大值与最小值.8 .从1至I500的自然数中，有多少个数出现1或5?9 .从19,20,21,，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？解答：1 .由对称性，不妨设ba,则ac+bdac+ad=a(c+d)2;无解.6 .设原式为S,则所以又0.112-0.001=0.111.因为1所以(S099+0111)=0.105.7 .由|x1,|y|01得-1&x01,-10y01.所以
