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1、初等代数研究课后习题完整版1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性,即1对任何,当且仅当时,.2对任何,在,中有且只有一个成立.证明：对任何,设,1,则,使,则,使,综上 对任何,2由1与不可能同时成立,假设与同时成立,则,使且,与B为有限集矛盾,与不可能同时成立,综上,对任何,在,中有且只有一个成立.2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何设M为使等式成立的所有b组成的集合先证 ,设满足此式的组成集合k,显然有1+1=1+1成立,设,则, 取定,则,设,则对任何,3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定,反证：假设至少有两个对应关系,对,有,设是由使成立的所有的组成的集合,
2、 设则, 即,乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有组成集合 当时,设,有与它对应,且,对,令 即乘法存在p245、解：满足条件的有,基数和为p246、证明：,中的与中的对应,p248、证明：13+4=72p2412、证明：1 2p2636、已知对任何满足 求证：123 证明：1当时,结论成立,假设时,结论成立,即,当时,所以对一切自然数结论都成立2当时,结论成立假设时,结论成立,即当时,所以对一切自然数结论都成立3当时,结论成立假设时,结论成立,即当时,所以对一切自然数结论都成立p621、证明定理2.1证明：,因为自然数加法满足交换律而,以为自然数满足加法结合律即整数加法满足交换律和结合律p6
3、22、已知,求证的充要条件是 证明： 已知则 已知则,p624、已知,求证证明：p625、已知,求证证明：左边 右边 所以左边等于右边p627、已知,求证当且仅当时证明： 已知, 因为 是负数, 已知则因为是负数,p629、已知,求证：1 ,2 证明：设 1 而2 而p6312、名棋手每两个比赛一次,没有平局,若第名胜负的次数各为,求证：证明：对于,必存在一个使得p6316、已知,求证证明：由已知：使,p6317、设2不整除,求证证明：因为2不整除,所以存在唯一一对,使,其中,p6320、设,求证是奇数的平方证明：肯定一奇一偶肯定为偶数肯定为奇数p6322、证明：前n个自然数之和的个位数码不能
4、是2、4、7、9证明：前n个自然数的和为 因为：n个自然数的和仍为自然数1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数 若个位数码为2 则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1 而1+n- n=1 个位数码不能为2 若个位数码为4 则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7 则1+n与n的个位数码有2种可能,则2,7或1,14 也不可能成立,若个位数码为9 则1+n与n的个位数码有2种可能,即2,9或1,18 也不可能成立, 综上,前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p6326、证明2.3定理1= 证明：因为：是的公因数中的最大数 所以R需考虑非负整数 =p6329
5、、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得 证明：因为不全为0 由定理4 使 设则,p6330、证明2.3定理6与其推论.定理6：若,则证明：若都为0,则显然成立 若不全为零,则使而 因为, 而推论：设是的公因数,则的充要条件是证明：是的公因数 因为,使,使p6432、证明2.3定理七与其推论定理七：若,中至少有一个不为0,则证明：中至少有一个不为0 使 因为 因为推论：若,则证明：因为,不为零 p6433、已知是奇数,求证证明：因为,因为是奇数, p6436、已知,求证证明：p6440、已知,求证中的倍数的个数等于证明：当时,结论成立,当时,令,则可改写为因为所以其中一定包括都是的倍数,共有
6、个p6442、已知是异于3的奇素数,求证证明：是异于3的奇素数,为偶数,其中都为合数,且都大于3都可被2、3中的一个整除,若,则由,因为p6444、已知整数都大于1,是素数,求证且是素数证明：反证 不是素数 当时不是素数与已知矛盾,所以是素数p6445、求不大于50的一切素数解：平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47p6446、求下列各数的标准分解式：182798848 解：82798848=p6449、已知整数都大于1,求证证明：p6669、已知是奇素数,求证12证明：1因为,因为2,p6670、设是相异素数,求证证明：, 同理 即p6672、已知是素数,求证证明：因为是素数,所以因为p6673、计算解：66150的标准分解式为p6674、已知整数,求证证明：设的标准分解式为,其中为素数,若显然,当时,一定且为偶数,综上所述时9 / 9
