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1、数字信号处理课程设计题目：试实现线性常系数差分方程的求解学院：专业：班级：组员：指导教师：题目：用Matlab实现线性常系数差分方程求解一. 设计要求1.掌握线性常系数差分方程的求解2 .熟练掌握Matlab根本操作和各类函数调用3 .结合Matlab实现线性常系数差分方程的求解二. 设计原理1 .差分与差分方程与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和 运算。设有序列 f(k),那么称,f(k+2),f(k+1), - - - ,f(k - 1),f(k - 2),为 f(k)的移位序列 序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为Af(k) = f(k+
2、1)-f(k) (3.1 1)一阶后向差分定义为Af(k) = f (k) - f(k-1)(3.1 2)式中和称为差分算子。由式(3.1 1)和式(3.1 2)可见，前向差分 与后向差分的关系为f (k) = f (k -1)(3.1 3)二者仅移位不同，没有原那么上的差异，因而它们的性质也相同。此处主要采 用后向差分，并简称其为差分。由查分的定义，假设有序列fjk)、f2(k)和常数a1, a?那么:Wk) a2f2(k)=航?) a2f2(k)-a1f1(k-1) a2f2(k-1)=a1 f1(k) - f1 (k -1) +a2 f2(k) - f2(k -1)(3.1 4)=&)
3、af2 (k)这说明差分运算具有线性性质。二阶差分可定义为(3.1 5)：2 f (k) =，； ： f (k)=作.f(k)-f(k-1)=作f (k) - ： f (k -1) =f (k) -2f (k -1) f (k -2)类似的,可定义三阶、四阶、n阶差分。一般地，n阶差分nf(k)n= ： ：nf(k)(-1)jj =jjf(k-j)(3.1 6)式中, j =0,1,2,l|,n N (n-j)!j!(3.1 7)为二项式系数序列f(k)的求和运算为k、f(i)i =-二(3.1 8)差分方程是包含关丁变量k的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一 般形式可写为(3.1
4、9a)F ：k,y(k),Ay(k),|,Any(k) = 0式中差分的最高阶为n阶，称为n阶差分方程。由式(3.1 6)可知，各阶 差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合，故上式常写为G ky(k), y(k1),|Ly(k n) = 0(3.1 9b)通常所说的差分方程是指式(3.1 9b)形式的方程。假设式(3.1 9b)中，y(k)及其各移位序列均为常数，就称其为常系数差分 方程；如果某些系数是变量k的函数，就称其为变系数差分方程。描述 LTI离散 系统的是常系数线性差分方程。差分方程是具有递推关系的代数方程，假设一直初始条件和鼓励，利用迭代法渴求的差分方程的数值解。2.差分方程
5、的经典解一般而言，如果但输入一单输出的 LTI系统的鼓励f(k)，其全响应为y(k), 那么，描述该系统鼓励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n阶常系数线性差 分方程，它可写为y(k) any(k -1)川 ay(k -n) ni(3.1 10a)= bmf(k) bmwf(k-1)川 bof(k-m)式中q(j =0,1,|,n-1)、b(i =0,1,|,m)都是常数。上式可缩写为 nmE an.y(k-j)=Z am、f(k-i)(式中3=1) (3.1 10b)j #i =0与微分方程的经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两局部组成。齐次解用yh(k)表示，特解用yp(k
6、)表示，即y(k)=yh(k) + yp(k)(3.1 11)a.齐次解当式(3.1 10)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程y(k) +any(k -1)+| + ay(k-n) =0(3.1 12)的解称为齐次解。首先分析最简单的一阶差分方程。假设一阶差分方程的齐次方程为(3.1 13)y(k) ay(k -1) =0它可改写为y(k)y(k-1)-ay(k)与y(k-1)之比等丁一 a说明，序列y(k)是一个公比为一a的等比级数，因此 y(k)应有如下形式ky(k) = C(-a) (3.114)式中C式常数，有初始条件确定。对丁n阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为 E的序列组合
7、而成，将C/ 代入到式(3.1 12),得C anCTH aQM aCs =。kn由丁 C用，消去C;且入=0,以除上式，得n+an/nFll + W+a0=0(3.1 15)上式称为差分方程式(3.1 10)和式(3.1 12)的特征方程，它有n个根*j =0，1,IILn)，称为差分方程的特征根。显然，形式为Cj的序列都满足式 (3.1 12)，因而它们是式(3.1 10)方程的齐次解。依特征根取值的不同，差分方程齐次解的形式见表3-1,其中Cj、Dj、Aj、j等为待定常数表31不同特征根所对应的齐次解特征根九齐次解yh(k)单实根C n kCr重实根(Crkr +Cr_2k2 + | H
8、 + C1k +Co)Z?一对共轴复根捕,2 = a + jb = Pe 庭PkC cos(E k) + D sin(E k)或 APk cos(E k _6)其中 Ae = C + jDr重共轴复跟Pk A _1krJL cos(E k e口) + A 项空 cos(E k 们项 + 山 + 气 cos(E kf)b.特解特解的函数形式与鼓励的函数形式有关，表 3-2列出了集中典型的鼓励f(k)所 对应的特解yp(k)。选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数 P(皿8 )等 就得出方程的特解。表32不同鼓励所对应的特解鼓励特解yP(k)kmPmk + Pm如+| 性+ P。所有特征根均不等
9、丁L时-RkJPmk FlEk侦 当有重等于L时的特征 根时k ari.k. 一Pa当a不等丁特征根时(Pk + P0)ak当a是特征单根时Prkr+prkFpk+Poak当a是r重特征根时cos(k)或 sin(Ek)Pcos(0k) +Qsin(&k)或Acos(EkM)，其中Aej6=P+jQ所有特征根均不等丁 jec.全解式(3.1 10)的线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，那么差分方程的全解为ny(k)=yh(k) yp(k) = C： y(k)j-(3.1 16)如果特征根为r重根，而其余n-r个特征根为单根时，差分方程的全解为rny(k)= GkT
10、k Cjk yp(k)J0 书(3.1 17)式中各系数Cj由初始条件确定。3.1 16),将给定的初始条,可得如果鼓励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合丁 k逋。对丁 n阶差分 方程，用给定的n个初始条件y(0),y(1),y(n-1)就可确定全部待定系数 弓。如 果差分方程的特解都是单根，那么方程的全解为式( 件 y(0),y(1)，,y(n -1)分别代入到式(3.1 -16)y(0)C2 III Cn - yp(0)(3.1 18)y(1)= 1C12C2IIInCnyp(1)HIIIIHHIIy(n-1)=尸C1广C2 III*Cn yp(n-1)由以上方程可求得全部待定系数C
11、j(j = 0,1,|l|,n)2.1零输入响应系统的鼓励为零,仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用 yzi(k)表示。在零输入条件下，式(3.1 10)等号右端为零，化为齐次方程, 即 ajyzi(k - j) = 0(3.1 25)j =0一般设定鼓励是在k=0时接入系统的，在k0时，鼓励尚未接入，故式(3.125)的几个初始状态满足yzi(-1)= y(-1)yzi (-2) = y(-2)1111川川II 26)yzi(-n) = y(-n)式(3.1 26)中的y( 1),y( 2),y( n)为系数的初始状态，由式(3.1 25)和式(3.1 26)可求得零输入响应 y
12、zi(k)。2.2零状态响应当系统的初始状态为零，仅由鼓励f(k)所产生的响应，称为零状态响应，用 表 示。在零状态情况下，式(3.1 10)仍是非齐次方程，其初始状态为零，即零 状态响应满足nm anyzs(k - j)八 amf (k -i) j =0i =0yzs(T) = yzs(-2)=| =yzs(-n) =0 (3.1_30)的解。假设其特征根均为单根，那么其零状态响应为nyzs(k)八 Czsj ： yp(k) E(3.1 31)式中Cz司为待定常数，yp(k) 为特解。需要指出，零状态响应的初始状态yzs( -D, yzs( -2), H L yzs(-n)为岑为素 但甘初始
13、值 yzs(0), yzs(1)J H , yzs(n-不定3.线性常系数差分方程3.1 一个N阶线性常系数差分方程可用下式表示:MN(1.4.1 )(1.4.2)y(n) =、biX(n i) aiy(n i) i Xi或者NM、aiy(n -i) = l bjX(n - i), a0 =1官i*ai和bi均为常系式中，x (n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次籍，也没有相互交义相乘项，故称为线性常系 数差分方程。差分方程的阶数是用方程 y(n-i)项中i的最大取值与最小取值之差 确定的。在(1.4.2)式中，y(n-i)项i最大的取值N
14、, i的最小取值为零，因此称 为N阶差分方程。4 .线性常系数差分方程的求解系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。 求解差分方程 的根本方法有以下三种：(1) 经典解法。这种方法类似于模拟系统中求解微分方程的方法，它包括齐次解与特解，由边界条件求待定系数，上节已作简单介绍，这里不作介绍。(2) 递推解法。这种方法简单，且适合用计算机求解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分方程不容易得到封闭式(公式)解答。(3) 变换域方法。这种方法是将差分方程变换到z域进行求解，方法简便有效。当然还可以不直接求解差分方程，而是先由差分方程求出系统的单位脉冲响应，再与的输入序列进行卷积运算，得到系统输出。但是系统的单位脉冲响应如果不是预 先知道，仍然需要求解差分方程，求其零状态响应解。(4)卷积法：由差分方程求出系统的 h(n),再与的x(n)进行卷积，得到 y(n)。观察(1.4.1 )式，求n时刻的输出，要知道n时刻以及n时刻以前的输入 序列值，还要知道n时刻以前的N个输出序列值。因此求解差分方程
