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1、二元一次方程组综合指导一、复习目标1.理解二元一次方程和二元一次方程组的概念。弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。2、理解解二元一次方程组的基本思想-消元的思想，掌握两种解二元一次方程组的基本方法-代入消元法，加减消元法。3、能根据方程组的特点灵活选择合适的方法，体现数学中的化未知为已知的化归的数学思想和方法。学会用类比的方法迁移知。4、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效的数学模型。5、会用列表、画图形等方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出方程组。通过开放性问题的探究，培养分析问题、解决问题的能力。学会比较估
2、算与精确计算，能对实际问题作出正确的解答。二、重点与难点重点：能够灵活运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，综合运用数学知识解决实际问题。难点：1、根据方程组的特点选择恰当的方法解二元一次方程组。2、对于实际问题能找出问题中所蕴涵的数量关系，能够把实际问题转化为数学中的方程模型，从而得以解决。体会“化归思想”、“消元思想”在方程组中的作用。三、知识规纳（一）、方程组中的有关概念1、二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫二元一次方程。理解二元一次方程必须满足如下条件：（1）“二元”即方程中含有两个未知数；（2）“一次”即方程中未知数的指数都是“1”；（
3、3）分母中不含有未知数。如：都不是二元一次方程。2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。注意：一般情况下，二元一次方程有无数多个解。3、二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，即用“”连接起来，就组成了二元一次方程组。对二元一次方程组的概念可这样理解。在一个方程组中，共有两个未知数，并且每一个方程都是一次方程，这样组成的方程组就是二元一次方程组。如：也都是二元一次方程组。4、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。注意：一个二元一次方程的解有无数多个，而二元一次方程组的解是一对数值，这对数值必须满足方程组中
4、的每一个方程。检验方程组解的方法将这一对数值代入每个方程中，若这两个方程左右两边都分别相等，这对数值即为方程组的解。（二）、二元一次方程组的解法：1.一种基本思想，两种方法：即“消元的思想”，“代入消元法”、“加减消元法”。（1）“消元的思想”，是数学中的一种思想和方法，即把“二元化为一元”。（2）“代入消元法”，是由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程中，实现消元，从而得到二元一次方程组的解。这种方法叫代入消元法。（3）“加减消元法”，两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个
5、一元一次方程，从而求出二元一次方程组的解。，这种方法叫加减消元法。2、用“代入消元法”解二元一次方程组其步骤分为五步：（1）变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y,用含x的式子表示出来，得。（2）代入：将代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程。（3）解元：解所得到的一元一次方程，求出x的值。（4）求值：把求得的x的值代入中，求出y的值，从而得到方程组的解。（5）联立：把求得的x,y的值用“”联立起来，就是方程组的解。3、用“加减消元法”解二元一次方程组其步骤也分为五步：（1）变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不是互为相
6、反数，就要用适当的数乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等。（2）加减：当同一个未知数的系数是互为相反数时，用加法消去这个未知数，得出关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程。（3）解元：解所得到的一元一次方程。（4）求值：将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。（5）联立：把求得的x,y的值用“”联立起来，就是方程组的解。（三）、列二元一次方程组解决实际问题的步骤。与一元一次方程类似，可归纳为：“一审二设三列四解五答”即1、审题，弄清题意及题中的数量关系。
7、2、设未知数，可直接设元，也可间接设元。一般地，有几个未知量就设几个未知数，找出几个相等关系。 3、列：根据题中所能的关系找出等量关系，列出方程组。4、解：解所列的方程组并检验解的正确性。5、答：写出答案。注意：设未知数时，若有单位需加单位；检验时包括两方面，一是是否是所列方程组的解，二是解是否符合实际意义；写出答案包括写出本题的正确答案和答。（四）、二元一次方程组蕴涵的数学思想方法主要有：化归思想；分类讨论思想；整体思想。四、典型例题赏析1、考察二元一次方程组的有概念例1、（2006烟台）写出一个解为的二元一次方程组。析解：本题是一道开放性题，答案不唯一。如等。例2、（2006德州）已知方程
8、组的解为，则的值为。析解：由方程组解的定义，把代入原方程组得到关于a,b的二元一次方程组，解此方程组得，所以。2.考察二元一次方程组的解法例3、（2006十堰）二元一次方程组的解是（）A、B、C、D、析解：根据方程组的特点，关于未知数y的系数互为相反数时，用加法消元，（1）（2）消去y,得关于x的一元一次方程为，解得，再代入（1）或（2）得到，故答案选择D。注：本题也可以利用选择题的解法-代入法：直接将选择支中各结论代入题设条件中进行检验，排除不正确或找出唯一的正确答案。3、考察二元一次方程所蕴涵的数学思想方法（1）化归思想所谓的化归思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，它是解二元一次方程
9、组最重要的数学思想。例4、（2006，晋江市）解方程组：析解：根据方程组的特点，通过加减消元法，（1）（2）达得消二元为一元的目的，得到一元一次方程为，从而可得方程组的解为：。即解二元一次方程组通过代入消元或加减消元的方法，将二元转化为一元方程来解。（2）分类讨论思想。所谓分类讨论就是根据数学对象的本质属性，将问题区分为不同种类，然后对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重不漏。例5、（2003，湖北黄冈）已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型
10、号的电脑共36台，请你设计几种不同的购买方案供学校选择，并说明理由。析解：根据题意，共有三种型号的电脑选购，选购其中的两种，所以分三种情况进行讨论。解：设从该电脑公司购进A型电脑台，B型电脑y台，C型电脑z台。（1）只购进A型电脑和B型电脑，则由题意得，解得，不合题意，舍去。（2）只购进A型和C型电脑，则由题意得，解得（3）只购进B型和C型电脑，则由题意得，解得综合以上三种情况，所以共有两种选择方案：方案一：购进A型电脑3台，C型电脑33台。方案二：购进B型电脑7台和C型电脑29台。注意：对于分类讨论要做到不重不漏，解决实际问题时，要注意检验结果是否符合实际意义，要进行取舍。3、整体思想例6、解方程组：析解：由（1）可得，从而发现这两个式子中都含有这一项，故将其看成一个整体代入，便可容易求得方程组的解为。
