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1、第一章综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量AB、AD、BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量答案C解析向量AB、AD、BD显然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.又AD-AB=BD=BD,AB,AD,BD共面,C正确,D不正确.2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上都不对答案C
2、解析a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),ab=-4+0+4=0,ab.-4-2=-6-3=21,ac.3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1答案D解析如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.4.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点,则AB+12BC+12BD等于()A.ADB.GAC.AGD.MG答案C解析M,G分别是BC,CD的中点,12BC=BM,12BD=MG.AB+12BC
3、+12BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.26答案B解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAD=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱锥的高h=|APn|n|=2613=2.6.已知两不重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面
4、、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析由题意,n1AB=21+(-3)0+1(-2)=0,得n1AB,n1AC=21+(-3)1+11=0,得n1AC,所以n1平面ABC,所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面平面ABC.7.直线AB与直二面角-l-的两个面分别交于A,B两点,且A,B都不在棱l上,设直线AB与,所成的角分别为和,则+的取值范围是()A.0+90B.0+90C.90+180D.+=90答案B解析如图,分别过点A,B向平面,作垂线,垂足为A1,B1,连接BA1,AB1.由已知,所以AA1,BB1,因此BAB1=,ABA1=.由最小角定理得BAA1,而BAA1
5、+=90,故+=+90-BAA190,当ABl时,+=90,应选B.8.长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,建立如图的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2),与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B
6、2=A3B3=A4B4,此时A1B2A1B1=22=4,与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2A1B4=22=4,与A4B1=(0,1,2)相等的向量为A3B2,此时A1B2A4B1=22=4,与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2A2B1=-1+4=3,与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2A1B2=1+4=5,体对角线向量为A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2A1B3=1+4=5,A2B4=(1,-1,2),A1B2A2B4=-1+4=3,A3B1=(1,1,2),A1B2A3B1=-1+4=3,A4B2=(-1,
7、1,2),A1B2A4B2=1+4=5,综上集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5,集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.设向量a,b,c可构成空间一个基底,下列选项中正确的是()A.若ab,bc,则acB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底答案BCD解析由a,b,c是空间一个基底,知
8、:在A中,若ab,bc,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(ab)c=bcB.(a+b)c=a(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|答案BCD解析A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)(-1,5,-3
9、)=0,右边=(1,2,3)(2,5,-4)=2+10-12=0,左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=59,a-b-c=(-1,-3,7),|a-b-c|=59,左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1EAC1B.BF平面ADD1A1C.BFDGD.A1ECH答案BCD解析设正方体的棱长为1
10、,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,G12,0,1,A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),则A1E=0,12,-1,AC1=(-1,1,1),BF=-1,0,12,DG=12,0,1,CH=0,-12,1,所以A1EAC1=-12,所以A1E与AC1不垂直,故A错误;显然平面ADD1A1的一个法向量v=(0,1,0),有BFv=0,所以BF平面ADD1A1,故B正确;BFDG=0,所以BFDG,故C正确;A1E=
11、-CH,所以A1ECH,故D正确.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:ACBD;ACD是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中正确的结论有()A.B.C.D.答案ABD解析如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),ACBD=0,故ACBD,正确.又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以ACD
12、为等边三角形,正确.对于,OA为平面BCD的一个法向量,cos=ABOA|AB|OA|=(-1,-1,0)(0,1,0)21=-12=-22.因为直线与平面所成的角0,90,所以AB与平面BCD所成的角为45,故错误.又cos=ABCD|AB|CD|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60,故正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a的正四面体中,ABBC+ACBD=.答案-a22解析棱长为a的正四面体中,AB=BC=a,且AB与BC的夹角为120,ACBD.ABBC+ACBD=aacos120
13、+0=-a22.14.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2a-b),则xy=.答案-2解析由题中条件得a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)(2a-b),所以存在R使得1+2x=(2-x)且4=3且-y+4=(-2y-2),所以=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PARtABC所在的平面,BAC=90,PB,PC分别与成45和30角,PA=2,则PA与BC的距离是;点P到BC的距离是.答案37解析作ADBC于点D,PA面ABC,PAAD.AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2,AC=23,BC=4
14、,AD=3,连接PD,则PDBC,P到BC的距离PD=7.16.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关);mn的最大值为2;(m,n的夹角)的最大值为34;若定义uv=|u|v|sin,则|mn|的最大值为2.其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)答案解析取z轴的正方向单位向量a=(0,0,1),则cos=na|n|a|=1c2+d2+121=12=22,向量n与z轴正方向的夹角恒为定值4,命题正确;mn=ac+bda2+c22+b2+d22=a2+c2+b2+d22=1+12=1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此mn的最大值为1,命题错误;由可得|mn|1,-1mn1,cos=mn|m|