2021-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何综合训练含解析新人教B版选择性必修第一册

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1、第一章综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量AB、AD、BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量答案C解析向量AB、AD、BD显然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.又AD-AB=BD=BD,AB,AD,BD共面,C正确,D不正确.2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上都不对答案C

2、解析a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),ab=-4+0+4=0,ab.-4-2=-6-3=21,ac.3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1答案D解析如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.4.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点,则AB+12BC+12BD等于()A.ADB.GAC.AGD.MG答案C解析M,G分别是BC,CD的中点,12BC=BM,12BD=MG.AB+12BC

3、+12BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.26答案B解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAD=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱锥的高h=|APn|n|=2613=2.6.已知两不重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面

4、、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析由题意,n1AB=21+(-3)0+1(-2)=0,得n1AB,n1AC=21+(-3)1+11=0,得n1AC,所以n1平面ABC,所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面平面ABC.7.直线AB与直二面角-l-的两个面分别交于A,B两点,且A,B都不在棱l上,设直线AB与,所成的角分别为和,则+的取值范围是()A.0+90B.0+90C.90+180D.+=90答案B解析如图,分别过点A,B向平面,作垂线,垂足为A1,B1,连接BA1,AB1.由已知,所以AA1,BB1,因此BAB1=,ABA1=.由最小角定理得BAA1,而BAA1

5、+=90,故+=+90-BAA190,当ABl时,+=90,应选B.8.长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,建立如图的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2),与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B

6、2=A3B3=A4B4,此时A1B2A1B1=22=4,与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2A1B4=22=4,与A4B1=(0,1,2)相等的向量为A3B2,此时A1B2A4B1=22=4,与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2A2B1=-1+4=3,与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2A1B2=1+4=5,体对角线向量为A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2A1B3=1+4=5,A2B4=(1,-1,2),A1B2A2B4=-1+4=3,A3B1=(1,1,2),A1B2A3B1=-1+4=3,A4B2=(-1,

7、1,2),A1B2A4B2=1+4=5,综上集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5,集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.设向量a,b,c可构成空间一个基底,下列选项中正确的是()A.若ab,bc,则acB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底答案BCD解析由a,b,c是空间一个基底,知

8、:在A中,若ab,bc,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(ab)c=bcB.(a+b)c=a(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|答案BCD解析A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)(-1,5,-3

9、)=0,右边=(1,2,3)(2,5,-4)=2+10-12=0,左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=59,a-b-c=(-1,-3,7),|a-b-c|=59,左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1EAC1B.BF平面ADD1A1C.BFDGD.A1ECH答案BCD解析设正方体的棱长为1

10、,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,G12,0,1,A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),则A1E=0,12,-1,AC1=(-1,1,1),BF=-1,0,12,DG=12,0,1,CH=0,-12,1,所以A1EAC1=-12,所以A1E与AC1不垂直,故A错误;显然平面ADD1A1的一个法向量v=(0,1,0),有BFv=0,所以BF平面ADD1A1,故B正确;BFDG=0,所以BFDG,故C正确;A1E=

11、-CH,所以A1ECH,故D正确.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:ACBD;ACD是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中正确的结论有()A.B.C.D.答案ABD解析如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),ACBD=0,故ACBD,正确.又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以ACD

12、为等边三角形,正确.对于,OA为平面BCD的一个法向量,cos=ABOA|AB|OA|=(-1,-1,0)(0,1,0)21=-12=-22.因为直线与平面所成的角0,90,所以AB与平面BCD所成的角为45,故错误.又cos=ABCD|AB|CD|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60,故正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a的正四面体中,ABBC+ACBD=.答案-a22解析棱长为a的正四面体中,AB=BC=a,且AB与BC的夹角为120,ACBD.ABBC+ACBD=aacos120

13、+0=-a22.14.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2a-b),则xy=.答案-2解析由题中条件得a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)(2a-b),所以存在R使得1+2x=(2-x)且4=3且-y+4=(-2y-2),所以=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PARtABC所在的平面,BAC=90,PB,PC分别与成45和30角,PA=2,则PA与BC的距离是;点P到BC的距离是.答案37解析作ADBC于点D,PA面ABC,PAAD.AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2,AC=23,BC=4

14、,AD=3,连接PD,则PDBC,P到BC的距离PD=7.16.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关);mn的最大值为2;(m,n的夹角)的最大值为34;若定义uv=|u|v|sin,则|mn|的最大值为2.其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)答案解析取z轴的正方向单位向量a=(0,0,1),则cos=na|n|a|=1c2+d2+121=12=22,向量n与z轴正方向的夹角恒为定值4,命题正确;mn=ac+bda2+c22+b2+d22=a2+c2+b2+d22=1+12=1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此mn的最大值为1,命题错误;由可得|mn|1,-1mn1,cos=mn|m|

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