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1、初中函数复习一、基本概念1、常量和变量： 在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数：定义： 一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于变量 x的每一个值，变量y都有唯二的值与它对应，我们称 y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0;函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数；对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。二、初中所学的函数1、正比例函
2、数：(1)、正比例函数的定义：形如 y kx(k 0)的形式。自变量与函数之间是 k倍的关系一般情况下，x当作自变量，y作为函数(2)、正比例函数的性质正比仞函数y=kx的图象是经过(0, 0), (1, k)的一条直线。当k 0时，图象从左到右是上升的趋势，也即是y随x的增大而增大。过一、三象限。当k 0时，图象从左到右是下降的趋势，也即是y随x的增大而减小。过二、四象限。注意：因为正比例函数 y=kx (k w 0)中的待定系数只有一个k,因此确定正比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。2、一次函数(1)、一次函数的定义：形如y kx b(k,b为常数，且k0)的
3、形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。(2)、一次函数与正比例函数的关系y kx(k 0)y kx b(k,b为常数，且k 0)属于上正比例一次函数4不属于(3)、一次函数的图象性质b0一次函数y=kx+b的图象是经过(0, b) ( k/b , 0)的一条直线，也可由 y=kx平移得到 当k0时，y随x的增大而增大，b0时，图象过第一、二、三象限，b0时，图象过一、三、四象限当k0时，图象过第一、二、四象限，b0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y随x的增大而减小当k0时，开口向上；当a0)【或左(h0)【或向下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)
4、或左(h0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减” . 一定要记住！二次项系数a .二次函数y ax2(1)当a 0时，抛物线开口向上，当a 0时，抛物线开口向下，(6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系bx c中，a作为二次项系数，显然a 0 .a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大;a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，1 a的大小决定开 口的大小.一次项系数b；在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线
5、的对称轴.在a 0的前提下，当b0时,0时,0时,b 2a b 2a b 2a即抛物线的对称轴在y轴左侧;即抛物线的对称轴就是y轴;即抛物线对称轴在y轴的右侧. 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， 2 0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b 0时， 旦0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时， 20,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为0; 当c 0时，抛物线与y
6、轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情 况：(1) .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；(2) .已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;(3) .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；(4) .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.(7)、二次函数图象的对称，当
7、成结论重点记忆。二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是yax2 bx c;22y a x hk关于x轴对称后，得到的解析式是y a x h k；.关于y轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是ya xhk ； .关于原点对称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是 yax2bxc;22ya x hk关于原点对称后，得到的斛析式是 y ax h k ; .关于顶点对称yax2 bxc关于顶点对称后，得到的解析式是 yax2 b
8、x c ；2ay a x h 2 k关于顶点对称后，得到的解析式是 y ax h 2 k . .关于点m, n对称22y a x h k关于点m, n对称后，得到的斛析式是 y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永 远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的 形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定 其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.(8)、二次函数与一元二次方程： .二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情
9、况)：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：(1) .当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A xi , 0 , B x2, 0 (xi x2),其中的x1, x?是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB x x b ja。. a(中考常考，重点记忆)(2) .当 。时，图象与x轴只有一个交点；(3) .当 。时，图象与x轴没有交点.1当a。时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0;2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 . .抛物线y ax2 bx
10、 c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 , c); .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3)根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中a,b, c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或 已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在 联系：0抛物线与x轴 启两个父点二次三项式的值可 正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实 根0抛物线与x轴 只有一个交点二次三项式的值为 非负一元二次方程有两个相等的实 数根0抛物线与x轴 无交点二次三项式的值包 为正F二次方程无实数根.练习一1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱 y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关系是 , x的取值范围是 ;2、函数y= , x 的自变量x的取值范围是 x 33、一根弹簧原长13厘米，它所挂的重物不能超过16千克，并且每挂重量 1千克时，弹
