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1、灰色系统预测模型 GM(1,1)的基本思想与实现过程邓聚龙，jq，佚名摘要：从灰色系统的预备知识、灰色系统预测模型GM(1,1)的计算、灰色系统预测模型的检验、GM(1,1)预测应用举例以及GM(1,1)模型的特点等五个方面阐述 了灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程，这对于地理科学本科生学 会运用该方法解决实际的地理预测问题，改进思维方式，提高实践能力具有一 定的意义。关键词：预测；灰色系统；模型检验；模型特点1预备知识1.1灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信
2、息已知， 另一部分信息未知或不确定。1.2灰色预测灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此 得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预 测。目前使用最 广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近
3、所揭示的原始时间序 列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。2灰色系统预测模型GM(1,1)2.1 GM(1,1)的一般形式设有变量X(0) = X (0) (i)，i=1,2，.，n为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X(0)进行一次累加(1 AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X=X (k)，k= 1，2，n其中k(1) - (0)X()(k)= X (i)iT=X(k 1)+ X (0)(k)(1)对X可建立下述白化形式的微分方程：dXdt十aX=
4、u即GM(1,1)模型。上述白化微分方程的解为(离散响应)：X (1)(k+1) = (X(0)(1) - -)ek + -aa或(1)(0)U . a(k) UX ()(k) = (X (1) - -)e + - aa式中：k为时间序列，可取年、季或月。2.2辩识算法记参数序列为a , a = a,uT,a可用下式求解：T -1 T a = (B B) B Yn式中:B 数据阵；Yn数据列丄以(1) (1) +X (1) (2)12B =1(1)(1)-(X (2) +X (3)1-1 (X(1)(n -1) +X (n)1-2 -Yn= (X(0)(2), X (0)(3),X0)( n
5、)丁2.3预测值的还原由于GM模型得到的是一次累加量，n+1,n+2, 时刻的预测值，所得数据X(k+1)(或X(k)经过逆生成即累减生成(I AGO)还原为XX(0)(k)，即：AkAX (k)八X (0)(i)i =1k _1八 X (0)(i) + X(0)(k)i =1(2)(3)(4)(5)(6)必须将GM模型(0)(k+1)(或k 4X (0)(k) = X (k)- 7 X (0)(i)i =1k 二因为 X (k-1)八 X (0)(i)，所以 X (0)(k)= X (k) - X (k -1)。i 43灰色系统模型的检验3.1检验方法一：残差合格(相对误差)(1),x(0)
6、(2),x(S定义：设原始序列 X(0)相应的模型模拟序列为乂(1),?(0) (2),#) (n)?残差序列；(0) ；(1), ；(2),；(n)11x(o)(2)r敘n)x(0)(n)x(0)(1) -x(0)(1),x(0)(2) -妙0)(2), ,x(0)(n) -5?(0)(nf 相对误差序列;(1) x(0)(1)=k f1对于k v n,称为k点模拟相对误差，称；(n)x(0) (n)为滤波相对误差,1 n称厶二1、：k为平均模拟相对误差；n k壬2称1 -三为平均相对精度，1 - 为滤波精度；3.给定，当0,当p p0时，称模型为小误差概率合格模型表1精度检验等级参照表精度
7、等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60般情况下，最常用的是相对误差检验指标4 GM(1,1)预测应用举例设原始时间序列为：X(0)x(0) (1), x(0) (2), x(0) (3),x(0) (4),x(0) (5) 1 = ：2874,3.278,3.337,3.390,3.679建立GM(1,1)模型，并进行检验。解: 1)对 X (0)作 1-AGO，得D为X (0)的一次累加生成算子，记为1-AGOX 二 J (1), x(1) (2),
8、 x(1) (3), x(1) (4), x(1) (5)=2.874,6.152,9.489,12.579,16.5582)对X(1)作紧邻均值生成，令Z(k) =0.5x(k) 0.5x(k -1)Z z(1),z(2),z(。总(4),z(1) (5)/-2.874,4.513,7.820,11.84,14.718于是,_-z(1 *2)-z |-z(1 )(4) .-z(1)(5)1-4.513|-7.820-11.84-14.718Ydi di diX7 X9 X7 X7 o o o O XXXX-17 172 3 4 5 /V /.V /.V /.V3.2783.3373.3903
9、.679-4.513 1-4.513 -7.820 -11.184 -14.718- 7.820 1_1111-11.84 114.718 1 一=423.221-38.235-1-38.2354-4 _ 423.22138.235 _ 0.0173180.165542-1-38.2354 一 10.1665542 1.832371 _二1 438.2351423.22仆4-38.2352卩38235 4232211- 438.235230.969 B8.235423.221 J3.27814.7183.3371 *3.3903.679召=(B B)B Y0.017318=|0.1665542
10、0.165542 一4.513 7.820 -11.1841.832371*R 1110.087386 0.030115 -0.028143J1.085280 0.537833 -0.0190513.278-0.0893443.33710.6040763.3903.679_ -0.037156L 3.065318确定模型dxdt-0.037156X= 3.065318及时间响应式?(1)(k1) =(x(0)(1) 一汗 baa= 85.3728e0.037156k -82.49864) 求X (1)的模拟值兄= 0(1),炉(2),0)(3), ?(4),炉)(5) / =(2.8740,6
11、.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5) 还原出X(0)的模拟值，由?(0)(k 1) -?(1)(k 1) -?(1)(k)得刃(0)只0)(1),只0)(2),(0)(3),?(0)(4),:?(0)(5)?=(2.8740 , 3.2318, 3.3541 , 3.4811, 3.6128)6 )误差检验相对误差表2残差与相对误差计算结果 序号实际数据模拟数据残差23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%x (0 ) (
12、k )X(0)(k)；(k) =x(0)(k) _00)(約；(k) x(0)(k) 平均相对误差1 51k (1.41%0.51%2.69% 1.80%)4 ki4=1.0625% (参考表 1, 1 级) 计算X与刃的灰色关联度41、(x(k)-x(1)：(x(5)-x(1)k ：22=(3.278 -2.874) +(3.337 -2.874) +(3.390-2.874) +丄(3.679-2.874)2=0.404 0.463 0.516 0.4025=1.78554S| = 2： (X(k)X(1)+2(X(5)-?(1)=(3.23182.874) +(3.35412.874) +(3.48112.874)+(3.6128 2.874)二 0.3578 0.4801 0.6071 0.3694=1.814441=Z (x(k) x(1) (?(k) X(1)kx(5) x(1) (x(5) X(1) k =221= (0.3 5 730.4 0 4 + (0.4 8 040.4 63+(0.6 0 740.5 1 6+ (0.3 6 9 40.4 0 2)5 2=-0.04620.0 1 7出0.0 9 10.0 1655=0.045351+|s| +
