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1、AR 模型和 ARMA 模型谱估计仿真一、问题重述有两个 ARMA 过程，其中信号1 是宽带信号，信号 2 是窄带信号，分别用AR 谱估计算法、 ARMA 谱估计算法和周期图法估计其功率谱。产生信号 1 的系统函数为：1 + 0.3544?-1 + 0.3508?-2+ 0.1736?-3+ 0.2401?-4H( z) =1.3817?-1 + 1.5632?-2- 0.8843?-3+ 0.4906?-41 -激励白噪声的方差为1.产生信号 2 的系统函数为：H( z) =1 + 1.5857?-1+ 0.9604?-21.6408?-1 + 2.2044?-2- 1.4808?-3+ 0
2、.8145?-41 -激励白噪声的方差为1.每次实验使用的数据长度为256.二、模型分析很多随机过程可以由或近似由均值为零、方差为2?的白噪声序列 u( n)输函数 H(z) 的 ARMA 线性系统来得到。称该随机过程为ARMA 过程。B(z)+U(z)-1?(?)经过具有有理想传X(z)?-?(?)H( z) =?=0?-?=?(?)?=0 ?()2| 2? =? ? ?(?)由上式可知只要估计出模型的参数（?和 ?），即可求出功率谱。?1.AR 模型的建立：AR 模型是一种特殊的ARMA 模型，利用AR（ p）模型，即：?x( n) = - ?( ?- ?) + ?(?)?=1逼近采样样本
3、 ,此时功率谱表达式为：2?2?=?-?|1+? |?=1?需要求解得未知量为参数?已知时，利用 x(n) 的自相关函数与AR 模型参数，当阶数 p?的关系，可建立 Y-W 方程，解该方程，即可得到AR 参数。?()()? +?- ?= 0?=1?( ?) + ?2?( ?- ?) = ?=1?= 1,2?= 0?(0)?(-1)?(-?)12?(1)?(0)?(1-?)?=01? ?(?) ?(?-1)?(0)?0对于 (p+1)元线性方程，若采用matlab 中的函数，则使用的是高斯消去法运算量为3?数量级。采用下面的 Levinson-Durbin 算法。它可以将运算量减少到2?数量级。
4、递推公式的获取方法如下：令 p=1，得一阶 AR模型对应的尤勒沃克方程为()+ ?1()()= ?1? 01? 1()+ ?1()(0)= 0? 11?可解得?( 1)?(1) = -1?( 0)?()2 (1)0-?1 -2(1)?1 = ?( 0)= ?0?1?令 p=2,得二阶 AR 模型对应的尤勒沃克方程为?(0) + ?(1)?(1) + ?(2)?(2) = ?2?2?2()+ ?2() ()+ ?2(2)(1)= 0 ? 11 ?0? ( 2) + ?( 1) ?( 1) + ?( 2)?(0) = 0? 2?2?解此方程组，得?2(2) =-? ?( 2) + ?1 (1)?(
5、1)/? 1?(1) =?( 1) +?( 2) ?( 1)21221?21 -(2)= ?1?2令 p=3,4, ,由递推规律可得到下式：?-1? = -?()(?-?+ ?)/?-1?-1(?)?=1( )( )()(?-)1,2, ,?- 1? ?= ?-1?+ ?-1?,?=?= ?21 - ?-1?式中， ?1,2, , ? ?=0 ?(0) .?= ?( ?) ,? =按照此递推式即可方便解出Ar 模型参数 a。2.ARMA 模型ARMA(p,q) 的差分方程如下：?x( n ) = - ?(?-?)+ ?(?- ?)?=1?=0由此可得出自相关的关系：?2? ( ?- ?) =
6、? (?)? ?+?=0?=0?-?-()2?()? -?+ ? ?+?=1?=0?-?( )()2?( )? =-? -?+ ?+?=1?=-?= 0,1,2,? ?=1当 mq 时的自相关函数关系可得 ,建立超定方程（ Mp+q）：R(q)?(?- 1)?(?-?-1)?1-?(?+ 1) ?(?+1)?(?)?(?-?+2)?=?-?(?)?(M -1)?(M - p)?(?)R ?a = r利用最小二乘解得：?=?-1?(? ?)? ?利用 Kaveh 谱估计方法，在计算出a 后直接计算参数 ?，则此时功率谱估计式变为：?-?(? ?)?=-? ?=-1?(?)?(?而参数 ?可以由以下关系式求出：? ?()?= 0,1, ?= ?- ?+ ?=0?=0三、实验内容信号一：按照题目要求要对信号一分别使用AR(4),AR(8),ARMA(4,4),ARMA(8,8)模型和周期图法进行估计，做 20 次独立实验结果绘制在一张图上， 并绘制 20 次的平均谱和真实谱。 信号一是均值为 0，方差为 1 的白噪声通过如下系统函数产生的。H (z)得到如下实验结果：
