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1、第二章晶体的结合和弹性第二章晶体的结合和弹性2.1有一晶体，在平衡时的体积为V。，原子之间总的相互作用能为U0,如果相距为r的原子间相互作用能由下式给出：u （r） = - + ，rmrn证明：（1）体积弹性模量为2）求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。1）解：参考王矜奉2.2.1 根据弹性模量的定义可知I dV 2 丿上式中利用了P一肿的关系式。设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成u (r)=-(2 2- + -)rmrn2）又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即3）V = Nv = NBr 3上式中B为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，-=2/2
2、 ）。又因为dU dV)=d 2U) dV2)v05）4），那么（ 5）式可化为dUmA nB考虑平衡条件（右）=0，得 二dV r0rm r n001NnBmAmnNAB.-m+ n.+ 9V 22rnr m9V 22rmrn000000mn9V20(-U0)6）1Nm 2 An 2 B1NmAnB+m+ n9V 22r mrn9V 22r mrn000000(將Vo将（ 6）式代入（ 1）式得：K 二 V - -mn l-U | 二 |U |mn 0 9V 2 o 1 o9V 002)惰性分子晶体原子之间的相互作用势可以下式描述u(r) _ 4a12 - 2(_)6r7)(B 1/6，此时
3、m=12, n=6，式中a _ IA丿A2三4B，称为雷纳德-琼斯参数。N 个原子组成的晶体U(r) _ 2N A2 ()12 -人6 ()68)得到平衡时原子间距R =1/6a平衡时总的相互作用势能 A 2U 二一N602 A12在体心立方结构中，每个晶胞有2个原子，N个原子有N/2个晶胞，又因为a = -2= R，所以3 0R0丿_ 4 N筋9R30mn A2K = U = N # x1 0I9V02A12mn9曲R390mn A12、3624A R312 o24A12mn A12、36(2 A )I A6丿1/6a72a 312 ( AA )5/2612 丿因为 m=12，n=6，查表(
4、P53，表 2-3)知体心立方A6二 12.25 ,A 二 9.1112mn A12 J3K =624A R312 o_ 12 x 6 x 12.252 x 羽 89.8424 x 9.11R30R30(A )5/26l A12 70.1a 3k _ u |mn_疔a0,9VV2a 3 1202.2 设原子之间总的相互作用能可表示为u (r) = -+,rm rn式中，第一项为引力能，第二项为排斥能， A、B 均为正常数。证明：要使这两原子系统处于平衡态，必 须 nm。证明：参考陈金富 9.1平衡条件dUdrmAnB=0r=r0pm+10 I 0r n +10mA nB得 =r m +1 r
5、n +1 00mA丿d 2Udr2m(m +1)A n(n +1)BmAI = +=r = r0rm+2r n+2r m+2n(n+1)Bm +1 -mArnm0mAm+rm+20l-(n +1)d 2Udr 2mA(mn)r=r0rm+20d 2U mA显然，如果ro为平衡点，相互作用的势能应具有最小值，则需I =-(m n ) 00dr2 r=r0rm+20nm2.3试求由两种一价离子所组成的一维晶格的库仑互作用能和马德隆常数，设离子总数为2N,离子间的最 短距离为 R。解：参考林鸿生1.1.26，刘友之 3.7，王矜奉 2.2.2，相距为rj的两异性-价离子的库仑相互作用势能为u ( r
6、 ) =ij ij4兀r0 iju01n=1选取某一正离子为参考离子，并为原点O离子间的最短距离为R,则第n个离子坐标为nR,参考离 子与一维晶格所有离子的库仑作用吸引势为、e2 x 2nR丿式中求和时对正离子取正号，对负离子取负号，并考虑到一维离子晶体，参考离子两边的离子是正负对称的，因此乘以2离子总数为N,只取一次两离子相互作用势。一维离子晶体总的库仑吸引势为u=E0(1)n 4ks nR 丿n =10一维离子晶格的马德隆常数1 1 e2x 2 x 2 N x = N2 4ks0n=11M = 2 兰(1)n+1 nn =1当离子数目较大时VR0+000 1M = 2 ( 1)n+1 _
7、= 2 ( 1)n+1 _nnn=1n=1=21 - + - - I 2 34 丿二 21n2x 2x3 x 4式中利用了 ln(l+ x) = x 一 y + y + 才 i(x 三1)U=0x 2 x 2 N x1 = N -ln2 冬2（1）n4兀8 nR丿02.4由N个惰性气体原子构成的分子晶体,n=12ks R0其总互作用势能可表示为U (R) = 2 N 812b、6AA12示丿6 R丿A =a 6 , b6 ijj式中 A =Ea-12 ,12 ijj8，称为雷纳德-琼斯参数。a是参考原子i与其他任一原子jij的距离r同最近邻原子距离R的比值（a = r /R）。试计算简立方、体
8、心立方和面心立方的A和A值。 ij ij ij 6 12解：参考徐至中 2-2，王矜奉 2.2.3，韦丹3.11（1）简立方如图，如果选取原子1作为坐标原点，根据与原子1的间距进行分类间距依次为R的1，2,3,T倍，对应有m个原子 i则，对雷纳德-琼斯参数贡献分别可以表示A =瓦丄=迓(1=瓦6,j=1 a6j=1V /R 丿 j=Aij+ n 2 + n 223j=1n 2 + n 2 + n 2123A =瓦丄=瓦(1、=瓦12,j=1 a12j=11 /R 丿2j=1+ n 2 + n 223：2 + n 2 + n 2123mi雷纳德-琼斯参数A6A12得当考虑 6 最近邻时mA =Z
9、6i =112刁+ 12 + 12 I24(：02 + 02 + 22 V02 + 12 + 2224+ 12 + 22 I=6.0000 +1.5000 + 0.2963 + 0.0938 + 0.1920 + 0.1111=8.19A12+ 12 + 12 护A12i=1A6,ii=1=6.0000+0.1875+0.0110+0.0015+0.0015+0.0005=6.20(2)体心立方如图所示，以O为原点，1 (1/2,1/2,1/2), 2 (001)雷纳德-琼斯参数当考虑 6 最近邻时A =迓6/=1(4/3卞n 2 + n223(4/3(1/2)2 + (1/21 +(1/21
10、(4/3(1702 + 02 )(4/3卞12 + 02 )241(4/3242)2 +(3/2)2 +(1/2)21A =艺A66, ii=1mi64 (n 22 + n 2 + n 223i=1A仝6i =1 81 =彳 兰 )+ (6) +彳+ n2 + n 8 (1/212 + (1/2匕 + 02 丿 8 02 + 02 +12 丿 8 (1/212 + (1/2匕 +121224十/12、十(24、十/8、+ _8 12 + 02 +121 8 (1/21 + 02 +(3/212 丿 8 (12 +12 +12 1 82448+12 + (3/2 匕丿=12.0000+0.750
11、0+0.8889+0.1875+0.1920+0.0370+0.1399=14.20A =(1 =6，=164印百疋丿21264(：(1/21 + (1/21 + 022464 (02 + 02 +12 )264：(1/21 +(1/21 +121264 (12 + 02 + 書)26124十+ + 02 +(3/2、尸 64+12 +(3/21248(3)面心立方如图所示，以O为原点，1 (1/2,1/2,0), 2 (001)雷纳德-琼斯参数A =迓A1212,ii=1得当考虑 7 最近邻时= 12.0000 + 0.0938 + 0.0329 + 0.0029 + 0.0015 + 0.
12、0002 + 0.0004=12.13如图所示，是面心立方晶格一个原胞，参考点在O点，标号为1的原子是最近邻原子，距离为R, 个坐标面上与标号为0的原子的最近邻有4个，所以面心立方格子任一原子有12个最近邻原子，标号为2 是O原子的次近邻，上下左右前后共有6个，之间距离是心2R,标号为3的原子是O原子的第三近邻原 子，之间距离是*3r,角顶O原子周围一共有8个如图晶胞，一个 晶胞有3个原子，固有24个第三近邻原子。(1) 只计算最近邻最近邻原子有 12个,A(i)= 12x (16 = 12，A(i)= 12x(li2 = 12 6 12(2)计算最近邻和次近邻最近邻原子有 12个,次近邻原子 6个A(2)= 12 x (“6 + 6 x C2 )6 = 12 + 0.750 = 12.750 , 6A(2)= 12 x (1)-12 + 6 x12(迈)
