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1、学而思五年级秋季第七讲知识总结神奇的9（接上讲）2. 9的整除特征 一个数能否被9整除，我们只需要看它的各个数位数字之和能否被9整除；并且它除以9的余数与数字和除以9的余数保持一致。 实际上算除以9的余数，不仅可以看数字和，也可以将原数任意分割后再相加，看这个和除以9的余数。例如：123459899除以9的余数，就等于1 + 2 + 3 + 4 + + 98 + 99的和除以9的余数。证明和第条一样，都是用位值原理。 弃9法：在算除以9的余数时，如果几个数的和是9或9的倍数，可以直接弃掉。注意等差数列中连续的9个数之和一定是9的倍数。对应题目：例4、例5、提3、尖33. 进位原理与整除特征的综
2、合运用对应题目：例6、提4、尖4下面以例6为例，再把解题方法复习一下：例6：下面算式由19中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。那么“数学解题”与“能力”的差的最大值是_.【解析】首先判断哪一个数字没有用。在这个算式中，结果2010除以9余3，所以所有加数的数字和除以9也余3。因为1 + 2 + + 9 = 45能被9整除，所以显然数字6没有用。其次计算进位的次数。加数的数字和为45 6 = 39，和的数字和为3，相差36，所以发生了4次进位。最后根据最值的要求往里填数。现在要求“数学解题”与“能力”的差最大，也就是“数学解题”尽可能大，“能力”尽可能小。显然“数”
3、= 1；“数学解题”最大，那么“学”= 9；此时百位和十位分别发生了一次进位，那么个位进位两次，即“题”+“力”+“示”= 20。现在还有数字2、3、4、5、7、8没有用，相加为20，只能是5 + 7 + 8 = 20；所以根据差最大的要求，“题”= 8，“力”= 5；同理，“解”= 4，“能”= 2；即“数学解题”与“能力”的差的最大值为1948 25 = 1923。蝴蝶模型1. 任意四边形中的蝴蝶模型（1） = （2） ； 对应题目：例12. 梯形中的蝴蝶模型（1） = （2） ； （3） = （4） 若AD : BC = a : b， 则 ： ： ： = a2 ：ab ：b2 ：ab在各
4、种杯赛里，蝴蝶模型考查最多的就是梯形中的蝴蝶模型，尤其是第（3）和（4）条性质，大家一定要记熟。在题目中，看见交叉线一定要想到构造蝴蝶模型蝴蝶模型这一讲并不算难，关键是熟练掌握并应用蝴蝶模型的几个性质。下面是第七讲补充习题答案第七讲蝴蝶模型上讲回顾1. A的数字和是2012，B的数字和是1997，已知A和B作差的时候退了15次位，那么结果的数字和是多少？【解析】：2012-1997+159=150或者1997-2012+159=1202. 如下图所示的竖式中相同ABCDEF分别表示1-9中7个不同的数字，那么这七个数字的和是多少？【解析】：共进位3次，所以数字和为2+1+3+93=33，而16
5、24+389=2013是其中的一个解3. 123123123499999999结果的数字和是多少？【解析】： 容易得知12312312342002002000=8000000999999999，所以结果的数字和为98=724. 123456789101119881989除以9的余数是多少？【解析】：1+2+3+1989=199019892=9951989，而1989是9的倍数，所以原来的数除以9的余数为05. 将0-9中的9个数字填入下列算式中，那么没被选中的数字是多少？+=2290【解析】：左右两边除以9的余数相同，右边除以9余4，所以左边除以9的余数也是4，所以没选中的数字应该是5本讲巩固
6、1. 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【解析】：根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米2. 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形的面积；？【解析】：根据蝴蝶定理，那么3. （2007年第12届华杯赛决赛）在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米 【解析】：上底：下底=5：10=1:
7、2，根据梯形蝴蝶模型的结论，所以，所以梯形ABCD的面积为2049=45平方厘米4. 如图，求梯形的面积【解析】：显然，所以，所以梯形面积为1+2+2+4=95. （2009年第14届华杯赛决赛）如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD相交于点O已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积【解析】：根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，则根据蝴蝶模型，令=25份，则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份所以1份为：464=，则三角形OAB的面积为25=6. 已知是平行四边形，三角形的面积为平方厘米。则阴影部分的面积是 平方厘米【解析】
8、：连接由于是平行四边形，所以，根据梯形蝴蝶定理，所以（平方厘米），（平方厘米），又（平方厘米），阴影部分面积为（平方厘米）7. 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是1004，三角形的面积是1009，求四边形的面积【解析】：如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是1004+1009=20138. 在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形ABF的面积为8平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米【解析】：连接DE，BE:AD
9、=1:2，根据梯形的蝴蝶模型，得到，所以，所以梯形ABED的面积为829=36平方厘米，所以DCE的面积为363=12平方厘米，所以正方形面积为36+12=48平方厘米9. E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是12，三角形DEF的面积是8，求四边形BCEF的面积为多少？【解析】：如图，根据梯形的蝴蝶中，BEF的面积为12，ABF的面积为12128=18，所以ABE的面积为18+12=30，所以梯形的面积为302=60，所以BEC的面积为60-12-12-8-18=10，所以四边形BCEF的面积为12+10=2210. 如图所示两个正方形ABCD和CEFG并排放置，已知BF与CD交于H并且DH=2CH，三角形DHF的面积为24，那么五边形ABEFD的面积是多少？【解析】：连BD、CF，那么四边形BCFE是梯形，而CH：DH=1：2，根据梯形中的蝴蝶模型，得到CHB的面积为24，CHF的面积为12，BHD的面积为48，所以CDB面积为24+48=72，所以大正方形面积为144那么得到边长CD的长度为12，而CDF的面积为12+24=36，所以可以得到GF=36212=6，那么小正方形面积为36，GDF面积为（12-6）62=18，所以五边形面积为18+36+144=198
