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1、电大微积分初步考试小抄、填空题11.函数f (x)的定义域是、5 - x5 x 0(o,5).2. lim xsin :x_xsin xlim1x )： - x3已知 f (x) =2X，贝y1时，-0xf (x)= 2X(ln2)24.若 f (x)dx = F(x) c，则1f(2x -3)dx F(2x -3) C 5.微分方程x(y )4 sin x = ex y的阶数是-y16.函数 f (x)-ln (x+2)的定义域是(-2 , -1 ) U (-1 ,oo )x20,Inx 2 =0x-2, ln(x 2) =ln1=、x(f (x)dx )= f (x)或 d( f(x)dx
2、) = f(x)dx10. 微分方程y丄y, y(0) = 1的特解为 dyy = ydxX七xy=edy = dx两边积分丄dy二dx yyy = e 又 y(0)=1 (x=0 , y=1).0七.ln y=x c 1二e ， c=0111. 函数 f (x)=+ J4 X2的定义域是 ln (x+2)-2,-1 -1,2产24-x 二0*x+20In (x 2) = 0-2乞x乞2=x-2ln(x 2) = In 1-2Vx21.方程.y-1 (x-1) =2sin x+c14. (sinx) dx =15. 微分方程(y )3 4xy二y5 sinx的阶数为x16. 函数f (x)的定
3、义域是ln (x-2)2ln(x-2)式 nx-20ln (x_2)fx2三阶(2,3 ) U (3,s)sin x17. limX F： 2x18. 已知 f (x x33X，贝U f (3)=2 xf (xH 3X 3 ln3 . f (3) = 27 27ln 3 x2e +c2x219.dex =_1/227+27In3x | x - 2且=-1 /sin 2x7. limX0xsin2x limX0xsin2x二 limxT12x -28. 若 y = x (x - 1)( x -y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2 zx -6x1. si n2x 2：12lim2.1=21
4、 x 50 2x22)( x - 3)，贝U y (0)=-6224323_-x)(x-5x+6)=x -5x +6x -x +5=x4-6x3+11x2-6x ,丫工4%3-18%2 22x-6 二(把0 带入 X)y (0) = -6,29. d e dx 二2ex dx1 912.若函数 f (x)二 xSin -2, x 2 = d续，则k =lim-1, xk,f(x)二 f(X。)( f(x)在 X。处连续)X X0 f (0) =klim /. 3 小(xs in 1)x 0 x=1x有界函数)皿 x sin1x 0 x(无穷小量20.微分方程(y )3 4xy(4) = y7s
5、inx的阶数为二、单项选择题ex eX y，则该函数是(偶函数)2Xe e2x-3x2 -3x 21.设函数f (-X)二f (x)二13.曲线y二,x在点(1, 1)处的切线方程是1 . 1y x -2 21y = x = %2jx 2 y |x =1四阶二f(x)所以是偶函数2函数意义的点是间断点的间断点是(x=1,x = 2 )分母无x -3x 2=0,x=1,x=23.下列结论中(f (X)在X = X0处不连续，则一定在 X0 处不可导)正确可导必连续，伹连续并一定可导；极 值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上J4.如果等式f(x)exdx =J-ex c，则 f(x)二(1
6、2 )x.f(x)dx = F(x) C,. F (x) = f(x),1-(e x)=，令 u 二-,yx但A= f(x0)是错误的.13. 函数y = (x 1)2在区间(-2,2)是(先减后增)14. xf (x)dx =( xf (x) - f(x) c )15. 下列微分方程中为可分离变量方程的是(e1 1xr = (eur X。16.下列函数中为奇函数是(In(x 、1 x2)17.当k =( 2 )时，函数f (x)=处连续18.函数y =x2，1在区间(-2,2)是(先单调下降再单调上升)19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4 的曲线为(y=x2 + 3 ).20
7、.微分方程y = y, y(0) = 1的特解为(y =二、计算题x2 - 3x + 21计算极限lim 产2 T x-4加(x1)(x 2)解：lim2设x -2dxy 二 e(x1)1二 lim_x 2x x，求 dy .1 -2x解：e x x2-2xyreuy广 e，u= -2x1y广(eu)，=-2-2x-e=-2e-2x(x 2)4-2x -飞x2-(-2x) ，=e ( -2 )3 1+3x231 dy=(-2 e-2x+ x2 )dx2入 sin. x ,J-TTdx二 xJ，=gx3计算不定积分解：令 u= x =_ 12“ x1dJ dx2” x sinu 2du=2 si
8、n udu =2(-cos)+c =-2cos v x c14计算定积分2xexdx-0/xxv =e ,v= e1 1 1)uv dx=uv |- 0 u vdx1k -0eu=x，10xex1.二 xe|0-e|=e _ (e - e) = 1原式=25.计算极限xxI dx 二 x ex11 xdxr x2 ：2x15limx 3 x-9lim (x 亠5)(x 3) lim x 亠 54Xr 3 (x3)(x 3) Xr 3x336.设 y = x x In cosx，求 dy13解：y = x x2 In cosx= x2 In cosx y1= In cosxy1=l nu1,u=
9、cosx113c sin x y =一 x2 cosx1y = (In u)(cosx)1=(-sin x) =-usin xcosx dy=( 3x22入sin x)dxcosx7.计算不定积分(1 -2x)9dx9解：(1-2x)dxxcosxdx 二x sinxsin xdx 二 xsin x(cosx) c令 u=1-2x , u = -2 du = _2x= dx12.计算定积分1e1 5Inxdx91u Cgdu)二-2 uduf dx+51 x10-1 丄 c =2 9 110(1-2x)20M 511xeln xf1xeln x1xdx51dx令 u=lnx8.计算定积分1xe
10、 dx_x2 1 2 1y = (x) ex x (ex)11x11二 2xex x (-早)二 2xex _ Wx(2x - 1)10dx1015.计算不定积分解：(2x 1) dx10(2x- 1) dx 二u=2x-1 , d =2 du=2dxf101.u 2du11101 uducu 2 11eln x , dx1 x= (2x-1)c116.计算定积分1xexdx-0_ 11x解：Xqdx临 eu=x ,v 二21xx11 xx dx = x c、Idxxiix e ,0 - 0-x-e1-xdxx e 計 0e )dx解: u=x, v = e ,1丄Me1)ed(-x)1du=
11、 dx , 1xe In x 1 2 1 ,dusu I。4=ee9.计算极限1 11 一(丄-1) =1e ex2 6x +8 lim 厂 x4 x -5x 4(x-2)(x-4)x-2limlimx 14 (x T)(x -4) x 34 x -1310.设 y =2x sin3x ,求 dy y1=s in3x y1=s inu , u=3x ,dx =1 x1 原式=1+5 2 2x2 3x + 213.计算极限lim x2 3x 2T x 十 X 6(x - 2)(x 1) x 1 解：limlim T(x+3)(x2) Tx+312 x=x ex,0二 e_（e_1） = 1四、应用题（本题 16分）用钢板焊接一个容积为 4 m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？14.设y ( sinu) (3x) = 3cos3x y =2x|n2+3cos3x dy=(2 x|n2+3cos3x)dx11.计算不定
