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1、-本 科 生 毕 业 论 文 题 目 研析二重极限与累次极限的关系 2016 年 5 月. z.-目 录摘要1关键词1中文摘要 1英文关键词 11引言12 预备知识13 二重极限与累次极限之间的联系33.1二重极限与累次极限没有必然的联系33.2二重极限与累次极限在一定条件下的联系53.3利用累次极限求解二重极限53.4数列的二重极限与累次极限的关系64 完毕语65 参考文献7. z.-研析二重极限与累次极限的关系数学学院1201 黄梦莉摘 要：二元函数极限概念是多元函数微积分学的一个重要容，本文利用二重极限与累次极限的概念，讨论它们的本质性区别，归纳总结了二重极限与累次极限存在性之间的在联系
2、. 关键词：多元函数；二重极限；累次极限；关系Research on the Relationship between Double Limit and RepeatedLimitClass1201 School of Mathematics HUANG Mengli Abstract: The concept of limit of two elements function is an important content of multivariate function differential calculus, using the conceptof double limit and
3、the repeated limit, discussed their essential differences, summarizes the inner relation between the double limit and double limit. Keywords: multivariate;double limit; repeated limit; relationship1 引言 二元函数的两种极限二重极限和累次极限，二重极限在多元函数微积分中占有突出地位，对于二重极限与累次极限的正确理解和求解是研究多元函数微分学的根底，而二重极限与累次极限的关系是其重要容对于初学者，很容
4、易对两者之间的关系产生疑问及误解，甚至分不清这两种极限的概念为了正确认识这两种极限之间的关系，首先要掌握这两种极限的概念，清楚理解这两种极限实质性的区别，其次深入研究这两种极限存在性的联系掌握二重极限与累次极限的概念及其关系有利于研究多元函数微积分及多元函数极限的计算在本文中还将介绍二重极限与累次极限的关系同样适用于数列中数列的二重极限与累次极限的关系，在这里的数列是指二重数列，而二重数列可以看成二元函数.2 预备知识1二重极限与累次极限的概念定义1 设为定义在上的 二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数.假设对任给正数，总存在某正数，使得当 时，都有 . 那么称在上当时以为极限，记作.在对
5、于不致产生误解时，也可以简单地写作.当分别用坐标，表示时，上式也常写作.在所研究的极限 中，两个自变量同时以任何方式趋于，这种极限也称为二重极限定义2设,在轴、轴上的投影分别为，即 ,.，分别是，的聚点假设对每一个，存在极限 ，它一般与有关，故记作 ，如果进一步还存在极限，那么称此极限为先对，后对的累次极限记作.类似地可以定义先对后对的累次极限.2二重数列及其极限的定义定义3 用来表示下面的点集：. (每个点的坐标都是由两个自然数组成的)在点集上定义的函数，通常写成数列的形式：. 这叫做二重数列这种数列也可以写成无穷阶矩阵的形式： 当,以任意的方式无限增大时，这个二重数列的极限定义为3 二重极
6、限与累次极限的关系3.1二重极限与累次极限没有必要的联系 累次极限与二重极限是两个独立的不同概念，它们的存在性没有必然的包含关系由此开场将逐一进展分类并说明二重极限与累次极限没有什么关联3.1.1二重极限存在，而两个累次极限不存在 例1 . 解，由两边夹定理可知：，但是，对任意给定的，由于，而不存在，所以 不存在，即 不存在，同理， 也不存在 由例1发现二重极限的存在并不能保证累次极限的存在3.1.2二重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在由例1知道二重极限存在，两个累次极限不存在，但一个二元函数的两个累次极限不一定相等，虽然只是对两个不同变量求极限的次序不同，但结果并不一定总是相等的
7、，有时甚至会出现一个累次极限存在而另一个不存在的情形例2 函数满足，不存在.又 ，故.3.1.3二重极限与累次极限都不存在 以上例1与例2都是说明二重极限存在时，累次极限的存在性无法保证，由下面例3与例4可以看到二重极限与累次极限都可以不存在. 例3 设，那么其在重极限与累次极限都不存在. 例4 设在点的累次极限 不存在，也不存在，即函数的两个累次极限均不存在，当动点沿轴正向趋于时，不存在，故函数的二重极限也不存在3.1.4 两个累次极限存在且相等时，二重极限不存在 由例5开场说明累次极限的存在也不能保证二重极限的存在性例5 ,在处的两个累次极限都存在且相等，再求二重极限，当动点沿着直线而趋于
8、定点时，由于此时，因而有，这一结果说明动点沿着不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在3.1.5 两个累次极限存在且不相等时，二重极限不存在 同样的，当两个累次极限结果不同时，也不能保证二重极限的存在性 例6设，它关于原点的两个累次极限分别为：. .当沿斜率不同的直线，时，对应的极限值也不同，因此该函数的二重极限不存在3.2 二重极限与累次极限在一定条件下的联系 通过以上的五个情形以及例题，已清楚地了解到累次极限与二重极限之间的存在性并没有什么关联，那么在它们之间是否真的毫无关系可寻的呢？并非如此定理1假设在点存在重极限与累次极限，那么它们必相等 由定理1可导出如下
9、两个便于应用的推论推论1假设累次极限 ，和重极限都存在，那么三者相等推论2假设累次极限 与 存在但不相等，那么重极限必不存在 但是，定理1保证了在二重极限与其中一个累次极限都存在时，它们必相等，但它们对另一个累次极限的存在性却不能得出什么结论 推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可用于否认重极限的存在性.3.3 利用累次极限求解二重极限求二重极限的方法大致可归纳为如下几种：1利用二重极限的定义；2利用有界变量替换与无穷小量的乘积仍为无穷小量及等价无穷小的代换；3利用两边夹定理；4利用变量替换，将二重极限转化为极限或一元函数极限 本文将重点分析如何利用累次极限求解二重极限二重极限
10、与累次极限虽然没有必要的联系，但是仍然可以通过累次极限和二重极限的一些关系来求解二重极限 例7 解 先求累次极限，再利用定义验证也是二重极限的值事实上，对于任意的，都有，取，当时，有，即3.4 数列的二重极限与累次极限的关系 考虑二重数列，这个数列的二重极限和累次极限分别表示为，已经知道，二重数列可以看成二元函数，这样就有下面的结论定理2 假设(1)二重极限存在；(2)对于所有充分大的n，极限存在；那么先后的累次极限一定存在，并且等于二重极限：. 说明：关于先后的累次极限，也有类似的结论 定理3对于数列.假设1二重极限存在；2对于所有充分大的，极限存在；对于所有充分大，极限也存在；那么两个累次
11、极限都存在，并且都等于二重极限. 由此就可以看出，二重数列的累次极限与二重极限的关系与上文所提的关系存在相似，所以累次极限与二重极限的关系同样适用于数列中，这也便于记忆和了解累次极限与二重极限的关系4 完毕语 在前文中可以知道二重极限与累次极限的存在性彼此不能等价也就是说，二重极限的存在不能保证累次极限的存在；两个累次极限存在且相等，也不能保证二重极限的存在，更不用说三个极限能相等了二重数列的极限也符合这样的规律参考文献1华东师大学数学系.数学分析M.:高等教育,2002. 2同济大学应用数学系.高等数学M.:同济大学,2004.3丽琴,白云芬.累次极限与二重极限的关系研究J.学院学报,200
12、5,7(3):19-20.4玉琏,傅沛仁.数学分析讲义M.:高等教育,2003.5戴中元.二重极限与累次极限的联系及应用J.高等数学研究,2013,16(2):24-27.6董建伟.数学分析中的非蕴含关系J.高师理科学刊,2012,32(2):43-45.7许汪涛.关于多元函数极限概念J.师大学教育学报,2003,20(3):98-99.8齐小忠.浅谈二元函数中六大重要概念间的关系J.喀什师学院学报,2013,34(3):24-26.9王爱国.二重极限存在的一个充分必要条件J.襄樊学院学报,2005,26(5):10-11. 10雅平.二重极限的几种求法J.雁北师学院学报,2005,21(2):65-67.11房明磊,许峰.关于二重极限与累次极限的研究J.教育学院学报,2015,12(2):153-154.12同琦.浅议二元函数重极限与累次极限的关系J.师学院学报,2000,12(3):69-70. z.
