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1、导数与函数的极值、最值一、选择题1 .下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A.y=x3B.y=ln（ x）-xC.y=xe2 D.y=x+- x解析 由题可知，B, C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y=x3单调递 增（无极值），D选项中的函数既为奇函数又存在极值.答案D2 .（2017 石家庄质检）若 a0, b0,且函数 f （x） =4x3 ax22bx+2 在 x= 1处有极值，若t =ab,则t的最大值为（）A.2B.3C.6D.9解析 f (x) = 12x2 2ax2b,则 f (1) = 122a 2b = 0, WJ a+b = 6,又 a0, b0,则 t =ab
2、0a+ b2=9,当且仅当a= b= 3时取等号.答案 D_ t1，3 .已知 y=f (x)是奇函数，当 xC(0, 2)时，f(x)=ln x-ax a2 ,当 xC (2, 0)时，f(x)的最小值为1,则a的值等于()111AqB.3C.2D.1解析 由题意知，当x(0, 2)时，f(x)的最大值为一1.*,1-1令 f (x) = a = 0,得 x=a，当 0x0；当 xa时，f (x)0,即 a2-3a-180,a6 或 a0, f (1)0,不满足 f (1)+f(1) = 0.答案 D二、填空题6 .(2017 肇庆模拟)已知函数f(x)=x3 + ax2+3x9,若x= 3
3、是函数f(x) 的一个极值点，则实数 a=.解析 f (x) =3x2+2ax+3.依题意知，3是方程f (x) = 0的根所以 3X(-3)2+2aX(-3)+3 = 0,解得 a = 5.经检验，a = 5时，f(x)在x= 3处取得极值.答案 5x 3x, x w 0,7 .(2016 北京卷改编)设函数f(x)=则f(x)的最大值为2x, x0,解析 当 x0 时，f(x) = 2x0；当 x00 时，f (x)=3x2 3=3(x1)( x+1),当 x0, f(x)是增函数，当一1x0时，f (x)0 时，一e 1,a = e 0, r0).(1)求f (x)的定义域，并讨论f (
4、x)的单调性；一 a,(2)若-=400,求f(x)在(0, +oo)内的极值.解(1)由题意可知xw r,所求的定义域为(8, - r) U(-r, +00).f (x)=axax(x+r) 2-x2+ 2rx + r2一 a (x2 + 2rx +r2) ax (2x + 2r) a (rx) (x + r)f(x) =(x2+2rx+r2) 2=(x+r) 4.所以当 xr 时，f (x)0；当一rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(一8, - r) , (r, +00);f(x)的单调递增区间为(一r, r).(2)由(1)的解答可知f (r)=0, f(x)在(0, r)上单调递增
5、，在(r, +小上 单调递减.因此，x = r是f (x)的极大值点，ar a 400_.所以f(x)在(0, +8)内的极大值为f(r)= )2=加=彳=100, f(x)在(0,+ 00)内无极小值；综上，f(X)在(0, +)内极大值为100,无极小值.10 .(2017 衡水中学二调)已知函数 f(x) = xln x, g(x) =( x2+ax 3)ex(a 为实数).(1)当a=5时，求函数y = g(x)在x=1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t , t +2( t0)上的最小值.解 (1)当 a=5 时，g(x) =( x2+5x 3)ex, g(1)=e.又 g (x)
6、 =(x2+ 3x + 2)ex,故切线的斜率为g (1) =4e.所以切线方程为y e = 4e(x1),即y = 4ex 3e.(2)函数 f (x)的定义域为(0 , +8),(x)=ln x+1,当x变化时，f (x) , f(x)的变化情况如下表：x10,一 e1 e1+ OO ef (x)一0十f(x)极小值、当t 1时，在区间t , t +2上f (x)为增函数， e所以 f (x)min=f (t) =tln t .当0t0, b0, d0C.av0, b0, d0B.a0, b0, c0D.a0, b0, c0, d0, f(0) =d0.又xi, x2是函数f(x)的极值点
7、,且f (x) =3ax2+2bx+c = 0,.xi, x2是方程 3ax2 + 2bx+c=0 的两根.由图象知，xi0, x20,2bxi + x2= 石，3a因止匕b0. cxix2 = -0.3a答案 A13 .(2015 陕西卷)函数y = xex在其极值点处的切线方程为 .解析 由丫=乂3、可得 y =ex + xex= ex(x+1),从而可得 y = xex 在(一0, - 1) 上递减，在(1, +8)上递增，所以当x=1时，y = xex取得极小值e 1, 因为y |x=1 = 0,故切线方程为y = e 1,即y= 1e答案 y= 1e14 .(2016 山东卷改编)设
8、 f (x) =xln x ax2+(2a1)x(常数 a0)(1)令g(x) =f (x),求g(x)的单调区问；(2)已知f (x)在x= 1处取得极大值.求实数a的取值范围.(1)解由 f (x)=ln x-2ax+2a,可得 g(x)=ln x-2ax+2a, x (0 , +oo).缶pj ，,、1 o 12ax所以 g (x)=x2a = x.又 a0,当xC 0, 31时，g (x)0,函数g(x)单调递增，2a当xC2，+00时，g (x)0,函数g(x)单调递减.2a:函数y=g(x)的单调增区间为0, 1-,单调减区间为，+ . 2a2a(2)由(1)知，f (1) =0.
9、当0a1,由(1)知f (x)在0, 1-内单调递增，可得当xC(0, 2 2a2a1)时，f (x)0. 2a所以f(x)在(0, 1)内单调递减，在1, S内单调递增.所以f (x)在x= 1处取得极小值，不合题意当a = 1时，；=1, f (x)在(0 , 1)内单调递增，在(1, 十0)内单调递 2 2a减，所以当x(0, +oo)时，f (x)W0, f(x)单调递减，不合题意.当a1时，010, f(x)单调递增，当 2 2a2axC (1 ,+ 8)时，f (x)0, f(x)单调递减.所以f(x)在x=1处取极大值，符合题意. ,1综上可知，头数a的取值氾围为2, +00 .
