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1、六、数列(必修五)1.等比数列的首项与公比分别是复数是虚数单位的实部与虚部,则数列的前项的和为( A )A B C. D.2.公差不为零的等差数列中,成等比数列,则其公比为( C )A1 B2 C3 D43.等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列.若=1,则= ( C )A7 B. 8 C.15 D.164.如图,在杨辉三角形中,斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列:记其前项和为,则的值为( D )A B C D 5.等差数列中,为其前项和,则等于( A )A297 B294 C291 D3006.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列,项和,则的值为 ( A )A2 B
2、3 C D不存在7.等差数列的前n项和等于( C )A152 B154 C156 D1588.已知等差数列的前13项之和为,则等于( C )A B C D9.已知各项不为的等差数列,满足,数列是等比数列,且,则( D )A B C D10.设,则的范围是( B )A B C D11.设等比数列的前项和为,若=3 ,则 = 12.若等差数列的前项和为,且,则 12 13.数列中,项,若 。14.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n(n2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加则第n行(n2)中第2个数是_(用n表示). 15.等比数列的前项和为,已知,成等差数列
3、,则的公比为 16.等比数列的前n项和为,公比,则=_317.若数列成等比数列,则的值为_2_18.对于数列,定义数列为数列的“差数列”,若,的“差数列”的通项公式为,则数列的前项和=19.记等差数列的前项和为,若成等比数列,则的值为 或2 20.试构造一个等差数列,其公差.且它的前n项和与前2n项和之比为定值,则数列的通项公式可以是 . an=2n1等(只要即可)21.已知: 等比数列的前n项和, ( , k 为常数 ).求数列的通项公式;若数列满足: ,且,求.解:当n2时,n=SnSn-1=nn-1=(1)n-1 , 当n=1时, 1=S1=+k; 又n是等比数列, 1=1=+kk=1。
4、n=(1)n-1,nN。 当n=1,3,5,时,。当n=2,4,6,时,。 。(I)当 ,即 211或1时,为无穷等比数列。 。(II)当,即a=1时, 。 不存在。(III)当,即a211a1时,不存在。22.已知数列中,且(且)(1)证明:数列为等差数列;(2)求数列的前项和解:(1) 数列为等差数列设, , 4分可知,数列为首项是、公差是1的等差数列 5分 (2)由(1)知, 7分即令, 则 11分,得 14分23.已知数列满足:,其中是常数,若,求、;对,求数列的前项和; 若,讨论的最小项解:,1分,2分设,、是常数3分,代入得,解4分,得,即,5分若,则是首项为、公比为的等比数列6分
5、,所以的前项和7分,数列的前项和为,所以8分若,则,分综上所述,10分11分,12分,当时13分,所以,当时,有,的最小项是;当时,的最小项是、和;当时,的最小项是;当时,的最小项是和;当时,的最小项是14分24.已知数列、中,对任何正整数都有:(1)若数列是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列是等比数列;(2)若数列是等比数列,数列是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由;(3)若数列是等差数列,数列是等比数列,求证:解:(1)依题意数列的通项公式是,故等式即为,两式相减可得 - -3分得,数列是首项为1,公比为2的等比数列 -4分(2)设等比数列的首项为,公比为,则,从而有:
6、,又,故 -6分,要使是与无关的常数,必需, -8分即当等比数列的公比时,数列是等差数列,其通项公式是;当等比数列的公比不是2时,数列不是等差数列 -9分(3)由(2)知, - -10分显然时当时 -14分 -16分25.已知数列中, ()求;()求数列的通项; ()设数列满足证明:(1) (2)解:(I) 分() 得即:, 6分所以所以 8分(III) ( 1 ) 由(II)得:所以数列是正项单调递增数列, 10分当, 所以 12分( 2 ) 当时,显然成立。当时, 所以,综上可知,成立。 14分26.已知数列和中,函数取得极值。 (1)求数列的通项公式; (2)若点的切线始终与OPn平行(
7、O是坐标原点)。求证:当对任意都成立。解:(1)由 即公比为t的等比数列。2分 当时,5分当可知,函灵敏为常量函灵敏,常量函数没有极值,不符合题意; (2)证明:由8分为递减数列, 为递增数列当取得最在值。10分27.已知数列和中,函数取得极值。 (1)求数列的通项公式; (2)若点的切线始终与OPn平行(O是坐标原点)。求证:当对任意都成立。解:(1)由 即公比为t的等比数列。2分 当时,5分当可知,函灵敏为常量函灵敏,常量函数没有极值,不符合题意; (2)证明:由8分为递减数列, 为递增数列当取得最在值。10分28.已知曲线,从上的点作轴的垂线,交于点,再从点作轴的垂线,交于点,设(1)求
8、数列的通项公式; (2)记,数列的前项和为,试比较与的大小;(3)记,数列的前项和为,试证明:解:(1)依题意点的坐标为,2分;4分(2),由,当时, ;8分(3),所以易证:,当时,(当时取“”)11分另一方面,当时,有:,又,所以对任意的,都有14分29.已知数列满足:,其中为数列的前项和.()试求的通项公式;()若数列满足:,试求的前项和公式;(III)设,数列的前项和为,求证:解:() -得 又时,-4分() -得整理得:-8分(III)-10分又-12分-14分 30.已知等比数列中,分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且公比 (1)求数列的通项公式; (2)已知数列满足是数列的前n项和,求证:当解:(1)由已知得 从而得 解得(舍去)4分 所以6分 (2)由于 因此所证不等式等价于:当n=5时,因为左边=32,右边=30,所以不等式成立;假设时不等式成立,即两边同乘以2得这说明当n=k+1时也不等式成立。由知,当成立。因此,当成立。12分31.已知数列的通项公式为设证明:当 解:由已知得, 故,2分3分