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1、圆内接四边形的性质与判定定理靜谕自主导学理敎材自查自测固“基础自主学 习区I课标解读1. 了解圆内接四边形的概念.2.掌握圆内接四边形的性质、判定定理及其推 论，并能解决有关问题.1圆内接四边形的性质定理定理1：圆的内接四边形的对角互补.如图2-2-1：四边形ABCD内接于00,则有：ZA+ZC=180,ZB+ZD=180.(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角如图2-2-2：ZCBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：ZCBE=42圆内接四边形的判定定理及其推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，
2、那么这个四边形的四个顶点共圆1“内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形”这种说法正确吗？【提示】 正确.根据圆内接四边形的对角互补可证.2圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】 性质定理1 和判定定理互为逆定理，性质定理2 和判定定理的推论互为逆定理靜壬互动探究破疑.难师生互动提“知能合作探 究区I也喻._圆内接四边形的性质如图2-2-3, 在 RtABC中，ZACB=90。，在AB上截取PA=AC，以PC为直径的圆分别交AB、BC、AC于D、E、F.求证:PA_DAPB=DP【思路探究】 先利用PC是圆的直径，得到PFBC，再利用圆内接四边形的性质
3、，得到DFPC，最后利用平行线分线段成比例证明结论【自主解答】连接 DF、 PF.pc是直径，PF丄AC.BC丄AC,pfbc，PB_FC.四边形PCFD内接于00, .ZADF_ZACP， AP_ AC，AZAPC_ZACP.ZADF=ZAPC. DFPC，DA FA PA DA DP_FCPB_DP.I规律方法I1在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等2圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件 从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系如图2-2-4所示，已知四边形ABCD内接于0,延长AB和DC
4、相交于点E, EG平分ZAED，且与BC、AD分别交于F、G.BCD图 2-2-4求证：NCFG=NDGF.【证明】四边形ABCD内接于0, AZEBF=ZADE.又EF是ZAED的平分线，则 NBEF=NDEG,AEBFsAEDG. ZEFB=ZDGF.又 VZEFB=ZCFG,NCFG=NDGF.图 2-2-5逐圆内接四边形的判定如图 2-2-5 所示，在AABC 中，AD=DB, DF丄AB 交 AC 于 F, AE=EC, EG丄AC 交 AB 于 G, 求证:(l)D、E、F、G四点共圆;(2)G、 B、 C、 F 四点共圆【思路探究】(1)要证 D、 E、 F、 G 四点共圆,只需
5、找到过这四点的外接圆的圆心,证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H,证点H即为圆心.(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证ZB=ZAFG(或ZC=ZAGF)，由D、E为中点，可知DEBC,NB=ZADE,故只需证ZADE=ZAFG，由D、E、F、G四点共圆可得.【自主解答】 如图，连接GF,取GF的中点H. TDF丄AB, EG丄AC, .DGF, EGF都是直角三角形.又点H是GF的中点，.点H到D、E、F、G的距离相等，.点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心， D、 E、 F、 G 四点共圆.(2)连接DE.由知D、G、F、E四点共圆.由四点共圆的性质定理的推论，得 ZADE=ZAF
6、G.AD=DB, AE=EC,D是AB的中点，E是AC的中点，DEBC,ZADE=ZB,ZAFG=ZB,G、B、C、F四点共圆.I规律方法I1解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的,本题(2)利用了圆内接四边形判定 定理的推论来证明的2判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一 组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆4变武illl练图 226如图2-2-6，在AABC
7、中，E, D, F分别为AB, BC, AC的中点，且AP丄BC于P,求证：E, D, P, F四 点共圆【证明】 TAP丄BC, F为AC的中点,PF是RtAAPC斜边上的中线,/.PF=FC,AZFPC=ZC,E、F、D分别为AB、AC、BC的中点,EFCD, EDFC,四边形EDCF为平行四边形,AZFED=ZC,AZFPC=ZFED, E、 D、 P、 F 四点共圆.圆内接四边形的综合应用如图2-2-7，已知AABC中，AB=AC, D是AABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A, C重合)，延长 BD 至 E.EcB图 2-2-7求证：AD的延长线DF平分ZCDE；若NBAC=30,AA
8、BC中BC边上的高为2+：勺，求AABC外接圆的面积.【思路探究】 (1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质定理求解外接圆的圆心在BC边的高上，设出外接圆的半径为r用r表示BC边上的高.【自主解答】 (1)证明：如图，TA、B、C、D四点共圆,.ZCDF=ZABC.又 AB=AC,/.ZABC=ZACB,且 ZADB=ZACB,/.ZADB=ZCDF,又由对顶角相等得ZEDF=ZADB,故 ZEDF=ZCDF,即AD的延长线DF平分ZCDE.(2)设0为外接圆圆心，连接A0并延长交BC于H,则AH丄BC.连接0C,由题意ZOAC=ZOCA=15,ZACB= 75.Z0CH=60.设圆
9、半径为r,则r+乎r=2+J3,得r=2,外接圆的面积为4n.I规律方法I1解答本题时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高.2. 此类问题综合性较强,考查知识点较为丰富,往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用,最终 得到某些结论的成立.如图2-2-8所示，AB、CD都是圆的弦，且ABCD, F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AE AC=AFDE.图 2-2-8【证明】如图，连接BD,ABCD,BD=AC. TA、B、D、F四点共圆, NEBD=NF.又 VZDEB=ZFEA, EBDs&FA. DE_BD DE_AC AE=AF. AE=AF，
10、 即 AE AC_AF DE.真题链接赏析珍链接（教材第30页习题2.2第3题）如图2-2-9,已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分ZE,且与BC、AD分别相交于F、G,求证：ZCFG_ZDGF.图 2-2-9诊赏析（2018 广州调研）四边形ABCD内接于00, BC是直径，AB =40，则ZD_,【解析】如图连接AC. I AB _40/.ZACB_20,ZBAC_90ZB_180-ZBAC-ZACB_70ND_180-NB_110.答案】 110随堂练生生互动达“双标”交流学 习区*1. 四边形ABCD内接于圆0,延长AB到E,ZADC_32，则ZCBE等于（）A
11、32B58C.122D.148。【解析】根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，NCBE_32.【答案】 A2下列说法正确的有() 圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角； 圆内接四边形的对角相等； 圆内接四边形不能是梯形； 在圆的内部的四边形叫圆内接四边形A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【解析】是圆内接四边形的性质定理2,正确.由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，不正确.圆 内接四边形可以是梯形，不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形.不正确.【答案】 B3. 如图2-2-10,两圆相交于A, B,过A的直线交两圆于点C, D,过B的直线交两圆于点E, F,连
12、CE, DF,若ZC=115，则ZD=.图 2-2-10【解析】如图，连接AB,VZC=115,ZABE=65,AZD=ZABE=65.【答案】 654. 四边形 ABCD 内接于圆 O,ZA ：ZB ：ZC=2 ： 3 ： 7，则ZD=.【解析】圆内接四边形的对角互补，ZA+ZC=180.又 VZA : ZB : ZC=2 ： 3 ： 7, ZA=40,ZB=60,ZC=14O.又 ZB+ZD=180,ZD=180-60=120.答案】120彳早方知能检测课下测 自我评估提“考欽”演练提 升区I一、选择题1.如图2-2-11, ABCD是。0的内接四边形，延长BC到E,已知ZBCD : ZE
13、CD=3 : 2,那么ZBOD等于（图2211A.120B.136C.144D.150【解析】设 ZBCD=3x,ZECD=2x,5x=180,x=36,即 ZBCD=108,ZECD=72. ZBAD=72,ZB0D=2ZBAD=144.【答案】 C2. 如图2-2-12，在00中，弦AB的长等于半径，ZDAE=80，则ZACD的度数为（）A.30B.45C.50D.60【解析】连接OA, 0B,VZBCD=ZDAE=80,ZA0B=60 ,/.ZBCA=|zA0B=30,AZACD=ZBCD-ZBCA=80-30=50.答案】 C图2-2-133. 如图2-2-13所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P,对角线AC和BD相交 于点Q,则图中共有相似三角形的对数为（）A.4 B.3C.2 D.1【解析】 利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得 pcdsapab,aqcdsaqba,aaqdsabqc, PACspbd.因此共4对.【答案】 A图 22144. 如图2-2-14, AB是00的弦，过A、O两点的圆交BA的延长线于C,交OO于D,若CD=5 cm,则CB等于（)A.25 cm B. 15 cmC.55 cm D. 2 cm解析】 连接 OA， OB，
