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1、 排列组合一、知识网络二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题多为排列与组合的混合问题三、知识要点一分类计数原理与分步计算原理1 分类计算原理加法原理：完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+ mn种不同的方法。2 分步计数原理乘法原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种
2、不同的方法，那么完成这件事共有N= m1 m2 mn种不同的方法。3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成假如干类，并且各类方法以与各类方法中的各种方法相互独立，运用任何一类方法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为假如干步骤进展，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事。二排列1 定义1从n个不同元素中取出m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。2
3、从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .2 排列数的公式与性质1排列数的公式： =nn-1n-2n-m+1= 特例：当m=n时， =n！=nn-1n-2321规定：0！=12排列数的性质： = 排列数上标、下标同时减1或加1后与原排列数的联系 排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系 分解或合并的依据三组合1 定义1从n个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2从n个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示。2 组合数的公式与性质1组合数公式：
4、乘积表示 阶乘表示特例： 2组合数的主要性质： 上标变换公式 辉恒等式认知：上述恒等式左边两组合数的下标一样，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。3 比拟与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素和“对取出元素按一定顺序排成一列两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。1 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。2 注意到获得一个排列历
5、经“获得一个组合和“对取出元素作全排列两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：四、经典例题例1、某人计划使用不超过500元的资金购置单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，如此不同的选购方式是 A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题。解：注意到购置3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购置软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘
6、，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法； 第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购置方法，应选C。例2、集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射 ，当xM时， 为奇数，如此这样的映射分析：由映射定义知，当xM时， 当xM时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但 必须为奇数，因此，对M中x的对应情况逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，当x=-1时， ，此时 可取N中任一数值，即M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法；第二步，考察x=0的象，当x=0时， 为奇数，故
7、只有2种取法 =3或 =5，即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法；第三步，考察x=1的象，当x=1时， 为奇数，故 可为奇数也可为偶数, 可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射 共有424=32个。例3、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角的两个小三角形可以是一样颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。第一类：1与4同色，如此1
8、与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，故此时有N1=544=80种不同涂法。第二类：1与4不同色，如此1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5433=180种不同涂法。综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。例4、解法一采用“分步方法：完成这件事分三个步骤。第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；第
9、二步：取与填入数字的格子编号一样的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；于是，由分步计数原理得，共有N=331=9种不同填法。解法二：采用“列举方法：从编号为1的方格的填数入手进展分类。第一类：编号为1的方格填数字2，共有3种不同填法：241321432341第二类：编号1的方格填数字3，也有3种不同填法：314234123421第三类：编号为1的方格填数字4，仍有3种不同填法：412343124321于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选B解法三间接法：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N1=4321
10、=24种不同填法，其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均一样的填法有1种；(2)恰有两个数字与格子编号一样的填法有6种；(3)恰有1个数字与格子编号一样的填法有8种；因此，有数字与格子编号一样的填法共有N2=1+6+8=15种于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。点评：解题步骤的设计原如此上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。当正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数不符合条件的方法种数=符合条件的方法种数。在这里，直接法中的“分析与间接法主体的“分类，恰恰向人们展示
11、了“分步与“分类相互依存、相互联系的辩证关系。例5、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到这里“0的特殊性，故分两类来讨论。第一类：不含“0的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有 种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有 种排法，于是由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有=36个。第二类：含有“0的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进展全排列，这样的排列共有 个。其中，有如下三种
12、情况不合题意，应当排险：10在首位的，有 个；20在百位或十位，但2与3相邻的，有 个30在个位的，但2与3相邻的，有 个因此，含有0的符合条件的四位数共有 =30个于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法，即先将符合条件的局部元素排好，再将有“不相邻要求的元素插空放入；解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆绑法，即先将要求相邻的元素“捆绑在一起，作为一个大元素与其它元素进展排列，进而再考虑大元素部之间的排列问题。例6、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，假如命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中与“不命中报告结果，不
13、同的结果有 分析：首先，对未命中的4枪进展排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去，有 种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有 种点评：这里的情形与前面不同，按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等，连续命中的3枪亦“地位平等。因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以 。解决此类“一样元素的排列问题，切忌照搬计算一样元素的排列种数的方法，请读者引起注意。例7、1；2假如 ，如此n=；3；4假如 ，如此n的取值集合为；5方程 的解集为；解：1注意到n满足的条件原式= 2
14、运用辉恒等式，等式 所求n=4。3根据辉恒等式 原式= = = = 4注意到这里n满足的条件n5且nN* 在之下，原不等式由、得原不等式的解集为5，6，7，115由 注意到当y=0时， 无意义，原方程组可化为 由此解得 经检验知 是原方程组的解。例8、用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一，假如从这15卡片中，每次取出5，如此字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种？解：符合条件的取法可分为6类第一类：取出的5卡片中，1红色，1黄色，3绿色，有 种取法；第二类：取出的5卡片中，1红色，2黄色，2绿色，有 种取法；第三类：取出的5卡片中，1红色，3黄色，1绿色，有 种取法；第四类：取出的5卡片中，2红色，1黄色，2绿色，有 种取法；
